Demonstrações
Para um real entendimento sobre determinado tema, mais importante do que decorar certas fórmulas é entender o raciocínio utilizado para se chegar a essa expressão. Venho por meio dessa série de post's, demonstrar algumas fórmulas usadas na Matemática e Física.
----------------------------------------------------------------------------------------Demonstração da Derivada da Inversa do Seno
Seja a seguinte função:
$$f=\sin^{-1}(x)$$
Isso significa que:
$$\sin(y)=x$$
Derivando implicitamente em relação a $x$, temos:
$$\cos(y)\frac{dy}{dx}=1$$
Ou ainda:
$$\frac{dy}{dx}=\frac{1}{\cos(y)}$$
Através da Relação Fundamental da Trigonometria, temos:
$$\cos^2(y)+\sin^2(y)=1 \Rightarrow \cos^2(y)=1-\sin^2(y)$$
Temos portanto, a seguinte expressão:
$$\cos(y)=\sqrt{1-\sin^2(y)}$$
Lembrando-se de que $\sin(y)=x$, temos:
$$\cos(y)=\sqrt{1-x^2}$$
Logo, a derivada da Inversa do Seno é:
$$(\sin^{-1})'=\frac{dy}{dx}=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$$
Até mais, e qualquer dúvida me contatem pelo Facebook!
$$f=\sin^{-1}(x)$$
Isso significa que:
$$\sin(y)=x$$
Derivando implicitamente em relação a $x$, temos:
$$\cos(y)\frac{dy}{dx}=1$$
Ou ainda:
$$\frac{dy}{dx}=\frac{1}{\cos(y)}$$
Através da Relação Fundamental da Trigonometria, temos:
$$\cos^2(y)+\sin^2(y)=1 \Rightarrow \cos^2(y)=1-\sin^2(y)$$
Temos portanto, a seguinte expressão:
$$\cos(y)=\sqrt{1-\sin^2(y)}$$
Lembrando-se de que $\sin(y)=x$, temos:
$$\cos(y)=\sqrt{1-x^2}$$
Logo, a derivada da Inversa do Seno é:
$$(\sin^{-1})'=\frac{dy}{dx}=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$$
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