Demonstração das Fórmulas do Movimento Oblíquo

Demonstrações

Para um real entendimento sobre determinado tema, mais importante do que decorar certas fórmulas é entender o raciocínio utilizado para se chegar a essa expressão. Venho por meio dessa série de post's, demonstrar algumas fórmulas usadas na Matemática e Física.

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Demonstração das Fórmulas do Movimento Oblíquo

Seja a seguinte trajetória:

Observe que a velocidade inicial $\vec{V_0}$ faz um ângulo $\theta$ com a horizontal. Através da decomposição de vetores, obtemos:
$$\vec{V_x}=V_0\cos(\theta)$$
$$\vec{V_y}=V_0\sin(\theta)$$
O movimento no eixo $y$ se trata de um MRUV, devido à aceleração da gravidade. Observe que $\vec{Vy}$ vai diminuindo em módulo até o momento em que se anula. Neste ponto, a partícula alcança sua altura máxima $H$.
Temos portanto:
$$V_y=V_0y+at_s$$
Onde:
$Vy=0$;
$V_0y=V_0\sin(\theta)$;
$a=-g$ e
$t_s$ é o tempo de subida.
Logo:
$$0=V_0\sin(\theta)-gt_s\Rightarrow t_s=\frac{V_0\sin(\theta)}{g}$$
O tempo de subida é igual ao tempo de descida (no caso onde a altura de lançamento é igual à altura de chegada), logo:
$$t_t=2t_s$$
Onde $t_t$ é o tempo total da trajetória.
Para determinar o alcance $A$, temos no eixo $x$ um MRU, onde podemos aplicar:
$$x=x_0+V_xt_t$$
Sabendo que $x-x_0=A$, temos:
$$A=V_xt_s \Rightarrow A=V_0\cos(\theta)\cdot 2\frac{V_0\sin(\theta)}{g}$$
Utilizando a Indentidade Trigonométrica:
$$\sin(2\theta)=2\cos(\theta)\sin(\theta)$$
Temos:
$$A=\frac{V_0^2\sin(2\theta)}{g}$$
Sabendo que a função seno pode valer entre $-1$ e $1$, para $A$ ser MÁXIMO, temos que:
$$\sin(2\theta)=1 \Rightarrow 2\theta=90^{\circ}\rightarrow \theta=45^{\circ}$$
Até mais, e qualquer dúvida me contatem pelo facebook!