Números e Conjuntos Numéricos

Conjunto dos Números Naturais

É o conjunto $\mathbb{N}=\{0,1,2,3,4,5, \dots\}$.

Excluindo-se o $0$ desse conjunto, obtemos: $\mathbb{N}^{*}=\{1,2,3,4,\dots\}$

Como todo elemento de $\mathbb{N}^{*}$ é elemento de $\mathbb{N}$, temos $\mathbb{N}^{*} \subset \mathbb{N}$.

Conjunto dos Números Inteiros

É o conjunto $\mathbb{Z}=\{\dots, -3,-2,-1,0,1,2,3,4,5,\dots\}$.

Os principais subconjuntos de $\mathbb{Z}$ são:
 $\mathbb{Z}^{*}=\{\dots, -3,-2,-1,1,2,3,4,5,\dots\}$;

 $\mathbb{Z}_+=\{0,1,2,3,4,5,\dots\}$;

 $\mathbb{Z}^{*}_+=\{1,2,3,4,5,\dots\}$;

 $\mathbb{Z}_-=\{\dots, -3,-2,-1,0\}$;

 $\mathbb{Z}^{*}_-=\{\dots,-3,-2,-1\}$.

Como todo número natural é identificado com um número inteiro, consideramos que $\mathbb{N} \subset \mathbb{Z}$.

Conjunto dos Números Racionais

É o conjunto de todos os números que podem ser escritos na forma de fração $\displaystyle \frac{a}{b}$, em que o numerador $a \in \mathbb{Z}$ e o denominador $b \in \mathbb{Z}^{*}$.

O conjunto dos números racionais é indicado pela letra $\mathbb{Q}$ e, em linguagem simbólica, temos:

$$\mathbb{Q}=\displaystyle \{x | x=\frac{a}{b},a \in \mathbb{Z};b \in \mathbb{Z}^{*}\}$$

Também podemos indicar que $\mathbb{Z} \subset \mathbb{Q}$. 

Conjunto dos Números Irracionais

Podemos entender número irracional como aquele que, se escrito na forma decimal, apresenta um número infinito de casas decimais sem, contudo, formar períodos, como nos decimais periódicos.

Os números irracionais não podem ser escritos na forma de fração $\displaystyle \frac{a}{b}$, com $a\in \mathbb{Z}$ e $b\in \mathbb{Z}^{*}$.

Indicaremos o conjunto dos números irracionais com a letra $\mathbb{I}$.

As operações de adição, subtração, multiplicação (sem fator nulo) e divisão (sem dividendo ou divisor nulo) entre um número irracional e um racional, sempre terá como resultado um número irracional.

Conjunto dos Números Reais

É o conjunto formado pelos números racionais e pelos números irracionais, indicado pela letra $\mathbb{R}$.

Se unirmos o conjunto $\mathbb{Q}$ dos números racionais com o conjunto $\mathbb{I}$ dos irracionais, obteremos o conjunto $\mathbb{R}$:
$$\mathbb{R}=\mathbb{Q} \cup  \mathbb{I}$$

Observe no diagrama abaixo as principais inclusões dos conjuntos numéricos estudados até aqui:

Intervalos 

Consideremos dois números reais, $a$ e $b$. Se compararmos $a$ com $b$, poderemos chegar a uma só das três alternativas: $a>b$, $a=b$ ou $a<b$.

Se $a>b$, o ponto da reta real associado a $a$ estará à direita do ponto associado a $b$.

Se $a=b$, os pontos $a$ e $b$ serão coincidentes.

Se $a<b$, o ponto da reta real associado a $a$ estará à esquerda do ponto associado a $b$.

Agora, consideremos dois números reais, $a$ e $b$, de modo que $a<b$:

Chamamos de Intervalo Aberto de extremos $a$ e $b$ o conjunto $\{x | x \in \mathbb{R}; a < x < b\}$.

Ele será indicado por $]a,b[$ (Não inclui extremos).

Sua representação na reta real será:

Chamamos de Intervalo Fechado de extremos $a$ e $b$ o conjunto $\{x|x \in \mathbb{R}; a \leq x \leq b \}$.
Ele será indicado por $[a,b]$ (Inclui extremos).
Sua representação na reta real será:

Chamamos de Intervalo Fechado à esquerda (ou aberto a direita) de extremos $a$ e $b$ o conjunto $\{x | x \in \mathbb{R}; a \leq x < b\}$.

Ele será indicado por $[a,b[$ (não inclui extremo à direita).

Sua representação na reta real será:

Chamamos de Intervalo fechado à direita (ou aberto à esquerda) de extremos $a$ e $b$ o conjunto $\{x | x \in \mathbb{R}; a < x \leq b\}$.

Ele será indicado por $]a,b]$ (não inclui extremo à esquerda).

Sua representação na reta real será:

Operações com Conjuntos

Intersecção de Conjuntos

Dados dois conjuntos $A$ e $B$, chama-se conjunto intersecção o conjunto formado pelos elementos comuns a $A$ e a $B$.
Indicamos por $A \cap B$ e lemos $A$ inter $B$.

Em símbolos, podemos escrever:
$$A \cap B= \{x|x \in A;x\in B\}$$

Exemplos:

União de Conjuntos

Dados dois conjuntos $A$ e $B$, chama-se conjunto união o conjunto formado pelos elementos que pertencem a $A$ ou a $B$.
Indicamos por $A \cup B$ e lemos $A$ união $B$.

Exemplos:

Diferença Entre Conjuntos

Dados dois conjuntos $A$ e $B$, chama-se conjunto diferença o conjunto formado pelos elementos de $A$ que não pertencem a $B$.
Indicamos por $A-B$ e lemos $A$ menos $B$.
Em símbolos, podemos escrever:
$$A-B=\{x|x\in A; x\not \in B\}$$

Exemplos: