Vetores - Movimento Curvilíneo

Grandezas Vetoriais e Escalares

Você está habituado a lidar com uma série de grandezas como, por exemplo, o volume de um corpo, a área de um terreno, a temperatura de um objeto etc.

Observe que, em todos esses exemplos, as quantidades citadas ficam plenamente conhecidas quando especificamos seu valor, ou seja, seu módulo e a unidade de medida.

Tais grandezas são denominadas grandezas escalares.

Entretanto, existem outras grandezas, que necessitam de mais informações para serem entendidas.

No estudo dessa postagem, a compreensão da ideia de direção e sentido são fundamentais.

Observe a figura abaixo:

A reta $r_1$ determina uma direção. A reta $r_2$, não paralela a $r_1$, determina outra direção. Já a reta $r_3$, por ser paralela a $r_1$, possui a mesma direção de $r_1$.

Em outras palavras, retas paralelas possuem mesma direção.

Consideremos agora, uma dada direção definida pela reta AB:

É claro que podemos imaginar uma pessoa se deslocando nessa reta (nessa direção) de duas maneiras diferentes: de A para B ou de B para A. Dizemos então, que há dois sentidos possíveis na direção da reta AB.

Deslocamento

O deslocamento de um corpo é o segmento que une a sua posição inicial à sua posição final.

Lembre-se que o deslocamento não leva em consideração a trajetória do corpo.

Suponha que você desejasse informar a uma pessoa sobre o deslocamento de um carro. Se você lhe dissesse que o carro deslocou 1600 km, isto é, se você informasse apenas o módulo do deslocamento, esta pessoa não poderia fazer nem ideia da mudança de posição do carro.

Então, para melhor entendimento, você deveria informar que o deslocamento se deu na direção $x$, e qual o sentido do movimento.

Em resumo, para especificarmos um deslocamento AB qualquer, temos que fornecer:

- Seu módulo;

- Sua direção e 

- Seu sentido.

Grandezas que se comportam dessa maneira, são denominadas grandezas vetoriais, e são representadas através de setas orientadas.

O vetor força por exemplo, pode ser dado da seguinte maneira:

Soma de Vetores

Consideremos, um corpo que se desloca de A a B, e em seguida de B a C. Esses deslocamentos estão representados abaixo:

O efeito final entre os dois deslocamentos combinados é levar o corpo de A a C. Dizemos então que o vetor $\vec c$ é o vetor soma entre $\vec a$ e $\vec b$.

$$\vec c= \vec a +\vec b$$

Para construir a resultante, $\vec c$, de dois vetores $\vec a$ e $\vec b$, traçamos o vetor $\vec b$ de modo que sua origem coincida com a extremidade do vetor $\vec a$. Unindo a origem de $\vec a$ com a extremidade de $\vec b$, obtemos $\vec c$.

Outra maneira de se encontrar a resultante entre 2 vetores, é através da Regra do Paralelogramo, mostrada na figura abaixo:

Estes vetores estão traçados de modo que suas origens coincidam. Traçando um paralelogramo que tenha $\vec a$ e $\vec b$ como lados, a resultante $\vec c$ será dada pela diagonal deste paralelogramo que parte da origem comum dos dois vetores.

Agora, para encontrar a resultante de vários vetores, usaremos um processo semelhante àquele visto com 2 vetores. Consideremos os 4 movimentos abaixo:

Escolhida uma escala apropriada, traçamos os vetores de modo que a extremidade de um coincida com a origem do seguinte, como mostra a figura abaixo:

Evidentemente, o deslocamento resultante, isto é,o deslocamento capaz de substituir os deslocamentos sucessivos combinados será o vetor $\vec V$, que une a origem do primeiro vetor com a extremidade do último. Portanto temos:

$$\vec V= \vec V_1 + \vec V_2 +\vec V_3 + \vec V_4$$

Componentes de um Vetor

Consideremos o vetor $\vec V$. Tracemos, a partir da origem O do vetor, os eixos perpendiculares OX e OY. Da extremidade de $\vec V$, tracemos uma perpendicular sobre OX. Assim, estamos projetando o vetor $\vec V$ sobre o eixo OX e obtemos $\vec {V_x}$ .

Do mesmo modo, podemos obter a componente $\vec {V_y}$.

Esses procedimentos são demonstrados na imagem abaixo:

Conhecendo os valores de $\vec V_x$ e $\vec V_y$, podemos calcular o módulo de $\vec V$, por Pitágoras:

$$V^2=V_x^2+V_y^2$$

Velocidade e Aceleração

Consideremos uma partícula se movendo em uma trajetória curvilínea, como na figura abaixo:

Para estudar um movimento como este, é necessário considerar o caráter vetorial da velocidade, isto é, devemos definir o vetor $\vec V$ a cada instante. A direção de $\vec V$ é tangente à trajetória no ponto que a partícula ocupa no instante considerado e o seu sentido é o sentido do movimento da partícula naquele instante.

Consideremos agora, uma partícula descrevendo uma trajetória curva, de tal modo que o valor da sua velocidade permaneça constante.

Embora o módulo da velocidade seja constante, a direção do vetor $\vec V$ está variando. Já vimos que, se a velocidade varia, há aceleração. Essa aceleração, quando a direção da velocidade varia, é chamada de aceleração centrípeta. A aceleração centrípeta $\vec a_c$, é um vetor perpendicular à velocidade e dirigida para o centro da trajetória.

Na figura abaixo, suponhamos que um corpo entre numa curva com uma velocidade cujo módulo está crescendo. 

Podemos dizer que este corpo possui 2 acelerações: a aceleração centrípeta ( pois a direção da velocidade está variando) e, além disso, uma aceleração tangencial, que caracteriza a variação do módulo de $\vec V$. A aceleração tangencial é um vetor de mesma direção de $\vec V$ (tangente à trajetória) e cujo módulo é aquele que você já aprendeu a calcular:

$$a_T=\frac{\Delta V}{\Delta t}$$

O sentido de $\vec a_T$ é o mesmo de $\vec V$ se o movimento for acelerado e contrário ao de $\vec V$ se o movimento for retardado.

Em resumo, podemos dizer que sempre que a direção do vetor velocidade variar, teremos uma aceleração centrípeta e sempre que variar o módulo do vetor velocidade, teremos uma aceleração tangencial.

Movimento Circular

Dizemos que uma partícula está em movimento circular quando sua trajetória é uma circunferência como, por exemplo, a trajetória descrita por uma pedra presa a um fio:

Se, além disso, o valor da velocidade permanecer constante, o movimento é denominado circular uniforme. Então, nesse movimento, o vetor velocidade tem módulo constante, mas a direção do vetor varia constantemente.

O tempo que a partícula leva para efetuar uma volta completa é denominado período do movimento, e é representado por T. O espaço percorrido pela partícula, durante um período, é o comprimento da circunferência que equivale a $2\pi R$.
Logo:
$$V=\frac{d}{t}\therefore v=\frac{2\pi R}{T}$$

Suponha que, no movimento acima, verificássemos que a pedra efetua 30 voltas em um tempo de 10 segundos. A frequência $f$, é dada por:
$$f=\frac{30}{10}=3Hz$$

A relação entre $f$ e $T$ é:

$$f=\frac{1}{T}$$

Consideremos agora, uma partícula em movimento circular, passando pela posição $P_1$ mostrada abaixo.

Após um intervalo de tempo $\Delta t$, a partícula estará passando pela posição $P_2$. Neste intervalo de tempo, o raio que acompanha a partícula em seu movimento descreve um ângulo $\Delta \theta$.
A relação entre o ângulo descrito pela partícula e o intervalo de tempo gasto para descrevê-lo é denominada velocidade angular da partícula. Ela é dada por:
$$\omega=\frac{\Delta \theta}{\Delta t}$$

A velocidade definida por $v=\displaystyle \frac{\Delta v}{\Delta t}$, que já conhecemos, costuma ser denominada velocidade linear, para distingui-la da angular.

Os ângulos podem ser escritos em graus ou radianos:

A relação entre $v$ e $\omega$ é dada por:

$$v=\omega R$$

Esta equação nos permite calcular a velocidade linear $v$, quando conhecemos a velocidade angular $\omega$ e o raio R da trajetória. Ela só é válida para ângulos medidos em radianos.

No movimento circular uniforme, o módulo da velocidade da partícula permanece constante e, então, a partícula não possui aceleração tangencial. Entretanto, como a direção do vetor velocidade varia constantemente, a partícula possui aceleração centrípeta.
Podemos deduzir, matematicamente, que:

$$a_c=\frac{v^2}{R}$$

Composição de Velocidades

Consideremos um avião voando, com uma certa velocidade, em um local onde o ar esteja parado, sem ventos. Se começar a ventar, o avião estará animado de dois movimentos: seu movimento em relação ao ar, que lhe é proporcionado pelos motores, e o movimento do ar (em relação à Terra), que também desloca o avião. Situações como esta, em que o corpo possui, simultaneamente, duas ou mais velocidades, em relação a um observador, são encontradas frequentemente. Por exemplo, um barco que se movimenta em um rio enquanto é arrastado por uma correnteza, uma pessoa que caminha dentro de um veículo enquanto é levada por esse mesmo veículo etc.

Exemplo 1:
Consideremos um barco cuja velocidade em relação à água é $V_b=6 \frac{m}{s}$. Este barco se movimenta em um rio cuja correnteza tem uma velocidade $V_c=4 \frac{m}{s}$.
Há 3 possibilidades:

a) Com que velocidade o barco desce o rio?

Vemos que o valor da velocidade resultante é dado pela soma algébrica dos módulos de $\vec V_b$ e $\vec V_c$ e, assim, o barco desce o rio mais rapidamente do que se não existisse a correnteza.

b) Com que velocidade o barco sobe o rio?

Evidentemente, em virtude do menor valor da velocidade resultante, o barco gastará mais tempo para subir o rio do que para descer.

c) Se a velocidade $\vec V_b$ for orientada perpendicularmente à margem, com que velocidade o barco se deslocará pelo rio?

Observando o caso "c", vemos que as velocidades são perpendiculares entre si.
Isso significa que $\vec V_c$ não tem componente na direção de $\vec V_b$ e, portanto a correnteza não terá nenhuma influência no tempo que o barco gasta para atravessar o rio. Consequentemente, haja ou não correnteza, o tempo de travessia será o mesmo, pois o efeito da correnteza é unicamente de deslocar o barco rio abaixo.
Do mesmo modo, sendo nula a componente de $\vec V_b$ na direção da correnteza, a velocidade do barco não terá influência no seu movimento rio abaixo. Logo, as velocidades $\vec V_b$ e $\vec V_c$ são independentes. Em outras palavras:
Quando um corpo está animado, simultaneamente, por dois movimentos perpendiculares entre si, o deslocamento na direção de um deles é determinado apenas pela velocidade naquela direção.