Trigonometria no Triângulo Retângulo

Elementos do Triângulo Retângulo

Triângulo retângulo é aquele que possui um ângulo interno reto.

O lado oposto ao ângulo reto é chamado de hipotenusa e os outros dois lados são chamados de catetos.

Exemplo:

Aplicações do Teorema de Pitágoras

Podemos calcular a relação entre a medida $d$ da diagonal de um quadrado e a medida $l$ de seu lado.
O triângulo ABC abaixo é retângulo em B, logo:

Da mesma forma, podemos obter, também, a relação entre a medida $h$ da altura de um triângulo equilátero e a medida $l$ de seu lado.
O triângulo AHC abaixo é retângulo em H; logo:

Razões Trigonométricas

Consideremos, inicialmente, o ângulo de medida $\alpha_1$ da figura a seguir, de vértice $V$ e lados VA e VB.

No lado VB consideremos pontos quaisquer $B_1$, $B_2$, $B_3$, $\cdots$ e os segmentos $A_1B_1$, $A_2B_2$ $\cdots$ são todos semelhantes.

Logo:

$$\frac{A_1B_1}{VA_1}=\frac{A_2B_2}{VA_2}=\frac{A_3B_3}{VA_3}=\cdots=k_1$$

Dessas igualdades podemos deduzir que o valor $k_1$ não depende do triângulo retângulo escolhido. Ele é o mesmo para qualquer triângulo.

Consideremos, agora, o ângulo de medida $\alpha_2$, da figura abaixo, de vértice O e lados OC e OD, e os triângulos $OC_1D_1$, $OC_2D_2$, $\cdots$, retângulos em $D_1$, $D_2$, $\cdots$, todos semelhantes.

Novamente, podemos escrever:

$$\frac{C_1D_1}{OC_1}=\frac{C_2D_2}{OC_2}=\frac{C_3D_3}{OC_3}=\cdots=k_2$$

Embora tenhamos usado o mesmo processo para calcular os valor de $k_1$ e $k_2$, encontramos $k_1 \neq k_2$.

Isso ocorre pois $\alpha_1 \neq \alpha_2$, e podemos concluir que o valor de $k$ depende apenas de $\alpha$.

A razão $k$ é uma característica de cada ângulo $\alpha$ e seu valor é chamado de seno do ãngulo $\alpha$. Assim, no triângulo ABC, dado, temos:

Com um procedimento semelhante ao utilizado, podemos definir outras razões entre as medidas de lados de um triângulo retângulo cujos valores dependam apenas da medida do ângulo considerado. Assim:

O cosseno do ângulo $\alpha$ é a razão entre a medida do cateto adjacente e a hipotenusa:

A tangente do ângulo $\alpha$ é a razão entre a medida do cateto oposto e o cateto adjacente:

Consequências das Definições

Dado um triângulo ABC, podemos chegar a algumas conclusões com base na definição das razões trigonométricas:

1) O seno de um ângulo agudo é igual ao cosseno de seu complemento e a tangente de um ângulo agudo é igual ao inverso da tangente de seu complemento:

2)

3) 

Ângulos Notáveis

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Dispondo os dados em uma tabela, temos: