Demonstrações
Para um real entendimento sobre determinado tema, mais importante do que decorar certas fórmulas é entender o raciocínio utilizado para se chegar a essa expressão. Venho por meio dessa série de post's, demonstrar algumas fórmulas usadas na Matemática e Física.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Tetraedro Regular
O tetraedro regular é uma pirâmide regular que apresenta as 4 faces congruentes e as 6 arestas também congruentes.
É formado por triângulos equiláteros, por isso recomendo que leia meu post sobre eles, na guia Demonstrações.
Área Total
Se $a$ for a medida da aresta do tetraedro VABC, e $A$ sua área, temos:
$$A=4 \cdot a^2 \frac{\sqrt{3}}{4}\therefore A=a^2 \sqrt{3}$$
Altura
O segmento AM é a altura do triângulo equilátero ABC, e portanto:
$$AM=a \frac{\sqrt{3}}{2}$$
$O$ é o baricentro do triângulo ABC, logo:
$$O=\frac{2}{3}AM=a\frac{\sqrt{3}}{3}$$
O triângulo VOA é retângulo em $O$, logo:
$$VA^2=VO^2+AO^2 \therefore a^2=h^2+(a\frac{\sqrt{3}}{3})^2$$
$$h^2= \frac{6a^2}{9}\therefore h=a\frac{\sqrt{6}}{3}$$
Volume
$$V=\frac{1}{3}(A_b\cdot h)=\frac{1}{3}\frac{a^2\sqrt{3}}{4}\cdot \frac{9\sqrt{6}}{3}$$
$$V=\frac{a^3\sqrt{2}}{12}$$