Demonstrações
Para um real entendimento sobre determinado tema, mais importante do que decorar certas fórmulas é entender o raciocínio utilizado para se chegar a essa expressão. Venho por meio dessa série de post's, demonstrar algumas fórmulas usadas na Matemática e Física.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Demonstração da Fórmula do Termo Geral e Soma de uma P.G
Sendo a seguinte P.G:
(2,6,18,54)
Primeiramente, para se encontrar a razão q desta P.G, basta dividirmos um termo pelo seu antecessor:
q=\frac{6}{2}=3
Perceba que:
6=2^{3^1}
18=2^{3^2}
54=2^{3^3}
Logo, seguindo com esse raciocínio, podemos generalizar:
a_n=a_1\cdot q^{n-1}
Soma dos Termos de uma P.G
Sendo a seguinte P.G:
(1,2,4,8,16,32,64)
A razão desta P.G é:
q=\frac{4}{2}=2
A soma desta P.G pode ser escrita como:
S=(1+2+4+8+16+32+64)
Porém, podemos multiplicar ambos os lados da equação por q, ficando com:
2S=(2+4+8+16+32+64+128)
Para simplificar vamos subtrair as duas:
S-2S=1-128 \therefore S=127
Generalizando, temos:
S_n-S_n \cdot q=a_1-a_n \cdot q
Colocando S_n em evidência:
S_n(1-q)=a_1-a_n \cdot q
Logo:
S_n=\frac{a_1-a_n \cdot q}{1-q}
Essa expressão pode ser modificada, sabendo que:
a_n=a_1\cdot q^{n-1}
Temos:
S_n=\frac{a_1-(a_1\cdot q^{n-1})\cdot q}{1-q}
Simplificando:
S_n=\frac{a_1-(a_1\cdot q^n)}{1-q}
Colocando a_1 em evidência, temos:
S_n=\frac{a_1(1-q^n)}{1-q}