Demonstrações
Para um real entendimento sobre determinado tema, mais importante do que decorar certas fórmulas é entender o raciocínio utilizado para se chegar a essa expressão. Venho por meio dessa série de post's, demonstrar algumas fórmulas usadas na Matemática e Física.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Demonstração da Fórmula do Termo Geral e Soma de uma P.G
Sendo a seguinte P.G:
$$(2,6,18,54)$$
Primeiramente, para se encontrar a razão $q$ desta P.G, basta dividirmos um termo pelo seu antecessor:
$$q=\frac{6}{2}=3$$
Perceba que:
$$6=2^{3^1}$$
$$18=2^{3^2}$$
$$54=2^{3^3}$$
Logo, seguindo com esse raciocínio, podemos generalizar:
$$a_n=a_1\cdot q^{n-1}$$
Soma dos Termos de uma P.G
Sendo a seguinte P.G:
$$(1,2,4,8,16,32,64)$$
A razão desta P.G é:
$$q=\frac{4}{2}=2$$
A soma desta P.G pode ser escrita como:
$$S=(1+2+4+8+16+32+64)$$
Porém, podemos multiplicar ambos os lados da equação por $q$, ficando com:
$$2S=(2+4+8+16+32+64+128)$$
Para simplificar vamos subtrair as duas:
$$S-2S=1-128 \therefore S=127$$
Generalizando, temos:
$$S_n-S_n \cdot q=a_1-a_n \cdot q$$
Colocando $S_n$ em evidência:
$$S_n(1-q)=a_1-a_n \cdot q$$
Logo:
$$S_n=\frac{a_1-a_n \cdot q}{1-q}$$
Essa expressão pode ser modificada, sabendo que:
$$a_n=a_1\cdot q^{n-1}$$
Temos:
$$S_n=\frac{a_1-(a_1\cdot q^{n-1})\cdot q}{1-q}$$
Simplificando:
$$S_n=\frac{a_1-(a_1\cdot q^n)}{1-q}$$
Colocando $a_1$ em evidência, temos:
$$S_n=\frac{a_1(1-q^n)}{1-q}$$