Demonstrações
Para um real entendimento sobre determinado tema, mais importante do que decorar certas fórmulas é entender o raciocínio utilizado para se chegar a essa expressão. Venho por meio dessa série de post's, demonstrar algumas fórmulas usadas na Matemática e Física.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Demonstração da Fórmula do Termo Geral e Soma de uma P.A
Uma P.A qualquer pode ser representada por:
(a_1,a_2,a_3,\cdots ,a_n)
Supondo uma P.A simples, contendo números ímpares:
(1,3,5,7,9)
Notemos o seguinte:
a_1=1
a_2=a_1+r
a_3=a_1+2r
a_4=a_1+3r
a_5=a_1+4r
Seguindo esse raciocínio, temos que o termo geral é dado por:
a_n=a_1+(n-1)r
Soma dos Termos de uma P.A:
Um professor de matemática, tentando manter a classe quieta, propôs um problema: Somar todos os números de 1 a 100. Porém, para sua surpresa, rapidamente um aluno deu a resposta correta: 5050.
Esse aluno era Karl Friedrich Gauss.
Ele notou que ao somar o primeiro com o último número, obtinha 101. O mesmo ocorria ao somar o segundo com o penúltimo e assim por diante.
*Esse resultado é obtido ao somar termos equidistantes (simétricos).
Nesse caso, ao agruparmos termos de 2 em 2, formaríamos 50 pares. Logo a conta que Gauss fez foi:
50 \cdot 101=5050
Mas será que ideia de Gauss se aplica a qualquer P.A?
Vamos analisar a seguinte soma de uma P.A genérica:
S=(a_1+a_2+a_3+\cdots +a_{n-2}+a_{n-1}+a_n)
Também podemos escrever a mesma expressão ao contrário:
S=(a_n+a_{n-1}+a_{n-2}+\cdots a_2+a_1)
Somando as duas expressões, temos:
2S=(a_1+a_n)+(a_2+a_{n-1})+\cdots (a_{n-1}+a_2)
Já vimos que ao somarmos termos simétricos obtemos o mesmo valor, logo:
2S=(a_1+a_n)+(a_1+a_n)+\cdots (a_1+a_n)+(a_1+a_n)
Com esse raciocínio, obtemos:
S=\frac{(a_1+a_n)n}{2}
