Demonstrações
Para um real entendimento sobre determinado tema, mais importante do que decorar certas fórmulas é entender o raciocínio utilizado para se chegar a essa expressão. Venho por meio dessa série de post's, demonstrar algumas fórmulas usadas na Matemática e Física.
----------------------------------------------------------------------------------------Demonstração da Derivada da Cotangente
Seja $f(x)=\cot(x)$.
Podemos reescrever$f(x)$ como sendo:
$$f(x)=\frac{1}{\tan(x)}=\frac{\cos(x)}{\sin(x)}$$
Aplicando a Regra do Quociente, temos:
$$f'(x)=\frac{(\cos(x))'\cdot (\sin(x))-(\cos(x))\cdot (\sin(x))'}{\sin^2(x)}$$
Logo:
$$f'(x)=\frac{(-\sin(x))\cdot (\sin(x))-\cos(x)\cdot \cos(x)}{\sin^2(x)}$$
Temos portanto:
$$f'(x)=\frac{-\sin^2(x)-\cos^2(x)}{\sin^2(x)}=-\frac{\sin^2(x)+\cos^2(x)}{\sin^2(x)}$$
Assim:
$$f'(x)=-\frac{1}{\sin^2(x)}$$
Portanto obtemos:
$$f'(x)=-\csc^2(x)$$
Que é a derivada da $\cot(x)$.
Até mais, e qualquer dúvida me contatem pelo facebook!
Podemos reescrever$f(x)$ como sendo:
$$f(x)=\frac{1}{\tan(x)}=\frac{\cos(x)}{\sin(x)}$$
Aplicando a Regra do Quociente, temos:
$$f'(x)=\frac{(\cos(x))'\cdot (\sin(x))-(\cos(x))\cdot (\sin(x))'}{\sin^2(x)}$$
Logo:
$$f'(x)=\frac{(-\sin(x))\cdot (\sin(x))-\cos(x)\cdot \cos(x)}{\sin^2(x)}$$
Temos portanto:
$$f'(x)=\frac{-\sin^2(x)-\cos^2(x)}{\sin^2(x)}=-\frac{\sin^2(x)+\cos^2(x)}{\sin^2(x)}$$
Assim:
$$f'(x)=-\frac{1}{\sin^2(x)}$$
Portanto obtemos:
$$f'(x)=-\csc^2(x)$$
Que é a derivada da $\cot(x)$.
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