Lei dos Senos
Para demonstrar a Lei dos Senos, tomamos um triângulo ABC qualquer inscrito em uma circunferência de raio $r$.
A partir do ponto B pode se encontrar um ponto diametralmente oposto D, e, ligando D a C, formamos outro triângulo, BCD, retângulo em C.
Da figura, podemos afirmar que A=D, porque determinam na circunferência uma mesma corda BC. Dessa forma, podemos relacionar:
Fazendo todo esse processo para os ângulos B e C, obtemos:
Daí concluímos a lei dos cossenos, que é válida para todo e qualquer tipo de triângulo:
O quadrado da medida de um lado de um triângulo é igual à soma dos quadrados das medidas dos outros dois lados menos duas vezes o produto das medidas destes lados pelo cosseno do ângulo formado por eles.
$$a^2=b^2+c^2-2bc\cdot \cos \theta$$
De modo análogo, podemos provar que:
$$b^2=a^2+c^2-2ac\cdot \cos \theta$$
$$c^2=a^2+b^2-2ab\cdot \cos \theta$$
A partir do ponto B pode se encontrar um ponto diametralmente oposto D, e, ligando D a C, formamos outro triângulo, BCD, retângulo em C.
Da figura, podemos afirmar que A=D, porque determinam na circunferência uma mesma corda BC. Dessa forma, podemos relacionar:
Fazendo todo esse processo para os ângulos B e C, obtemos:
Lei dos Cossenos
Consideremos um triângulo ABC e o ângulo interno $\theta$.
1° Caso: $\theta $é agudo ($0<\theta <90$)
Seja $h$ a altura em relação ao lado AB.
Aplicando o teorema de Pitágoras aos triângulos retângulos AHC e BHC:
2° Caso: $\theta$ é obtuso ($90<\theta <180$)
Seja $h$ a altura em relação ao lado AB.
Aplicando o teorema de Pitágoras aos triângulos retângulos AHC e BHC:
3° Caso: $\theta$ é reto ($\theta =90$)
Daí concluímos a lei dos cossenos, que é válida para todo e qualquer tipo de triângulo:
O quadrado da medida de um lado de um triângulo é igual à soma dos quadrados das medidas dos outros dois lados menos duas vezes o produto das medidas destes lados pelo cosseno do ângulo formado por eles.
$$a^2=b^2+c^2-2bc\cdot \cos \theta$$
De modo análogo, podemos provar que:
$$b^2=a^2+c^2-2ac\cdot \cos \theta$$
$$c^2=a^2+b^2-2ab\cdot \cos \theta$$
Teorema da Área
Consideremos um triângulo ABC e o ângulo interno $\theta$.
1° Caso) $\theta$ é agudo.
Seja $h$ a altura relativa do lado AB.
A área $S$ deste triângulo pode ser calculada pela fórmula:
2° Caso) $\theta$ é obtuso.
Seja $h$ a altura relativa do lado AB.
Como AHC é retângulo, podemos escrever:
3° Caso) $\theta$ é reto.
Daí, concluímos o teorema da área, que é válido para todo e qualquer tipo de triângulo:
A área de um triângulo qualquer é igual à metade do produto no qual os fatores são dois lados e o seno do ângulo por eles formado.
$$S=\frac{bc \cdot \sin \theta}{2}$$
De maneira análoga:
$$S=\frac{ab \cdot \sin \theta}{2}$$
$$S=\frac{ac \cdot \sin \theta}{2}$$