Determinantes

Determinantes

Matrizes de Ordem 1, 2 ou 3

O determinante de uma matriz quadrada de ordem $1$, indicado por $\det A$ ou $|a_{11}|$ é o próprio $a_{11}$.

O determinante de uma matriz quadrada de ordem $2$, é igual à diferença entre o produto dos elementos da diagonal principal e o produto da diagonal secundária. Assim:

O determinante da matriz quadrada de ordem $3$, pode ser calculado por um dispositivo prático, chamado Regra de Sarrus, que consiste nos seguintes passos:

1°) À direita da matriz $A$ repetimos as duas primeiras colunas:

2°) O determinante é a soma algébrica desses valores.

Exemplo:

Menor Complementar

Consideremos uma matriz quadrada de ordem $n \geq 2$. O menor complementar do elemento $a_{ij}$ de $A$ é o determinante da matriz quadrada que se obtém de $A$ eliminando-se a linha $i$ e a coluna $j$. Indica-se por $D_{ij}$.

Por exemplo, dadas as matrizes $A$ e $B$ abaixo, vamos calcular o menor complementar do elemento $a_{21}$ de $A$ e $b_{32}$ de $B$.

Cofator

Seja uma matriz quadrada de ordem $n \geq 2$. O cofator de um elemento $a_{ij}$ de $A$ é dado por:

$$A_{ij}=(-1)^{i+j}\cdot D_{ij}$$

Determinante de uma Matriz de Ordem Qualquer

O determinante da matriz $A$ é a soma dos produtos dos elementos de uma fila qualquer (linha ou coluna) da matriz pelos respectivos cofatores.

Vejamos, como exemplo, o cálculo da determinante da matriz $A$: