Matrizes
Chamamos de matriz $m$ x $n$ (Lê-se: $m$ por $n$) com $m \in \mathbb{N}^*$ e $n \in \mathbb{N}^*$ qualquer tabela formada por $m$ x $n$ números dispostos em $m$ linhas e $n$ colunas.
Representamos uma matriz escrevendo os elementos entre parênteses, entre colchetes ou entre barras verticais duplas.
As matrizes são indicadas por letras maiúsculas e seus elementos, por uma letra minúscula acompanhada de 2 índices: O primeiro indica a linha à qual o elemento pertence e o segundo indica a sua coluna.
Por exemplo, uma matriz $A$ do tipo $2x3$ é representada por:
Nela:
$a_{11}$ (Lê-se: a-um-um) é o elemento que está na 1° linha e 1° coluna;
$a_{12}$ (Lê-se a-um-dois) é o elemento que está na 1° linha e 2° coluna; e assim por diante.
De um modo geral, uma matriz $A$ do tipo $m$ x $n$ é representada por:
E fica convencionado que as linhas são numeradas de cima para baixo e as colunas, da esquerda para a direita.
A matriz $A$ também pode ser indicada por:
$$A=(a_{ij})_{mxn}$$
Observações:
1°) Quando a matriz é composta por uma única linha, recebe o nome de matriz linha.
2°) Quando a matriz é composta por uma única coluna, recebe o nome de matriz coluna.
3°) Quando todos os elementos da matriz são iguais a 0, ela se chama matriz nula.
Matriz Quadrada
Quando a matriz tem o número de linhas igual ao número de colunas, ela é chamada matriz quadrada.
Uma matriz quadrada do tipo $n$ x $n$ é chamada matriz quadrada de ordem $n$.
Exemplos:
Numa matriz quadrada $A=(a_{ij})$ de ordem $n$, os elementos $a_{ij}$, tais que $i=j$, formam a diagonal principal de $A$ e os elementos $a_{ij}$, tais que $i+j=n+1$, formam a diagonal secundária de $A$.
Exemplo:
Matriz Diagonal
Uma matriz quadrada $A=(a_{ij})_{nxn}$ é chamada matriz diagonal se $a_{ij}=0$ para todo $a \neq 0$, ou seja, se todos os elementos que não pertencem à diagonal principal são nulos, sendo os elementos desta nulos ou não.
Exemplos de matrizes diagonais:
Matriz Identidade ou Matriz Unidade
Uma matriz quadrada de ordem $n$, em que os elementos da diagonal principal são todos iguais a $1$ e os demais elementos iguais a 0, é chamada matriz identidade ou matriz unidade e indicada por $I_n$.
Exemplos:
Matriz Oposta
Dada uma matriz $A=(a_{ij})_{mxn}$, chamamos de matriz oposta de $A$ (indica-se $-A$) a matriz que é obtida invertendo-se o sinal de cada elemento de $A$.
Exemplos:
Igualdade entre Matrizes
Quando temos duas matrizes $A$ e $B$, do mesmo tipo $m$ x $n$, os elementos de mesma posição (mesma linha e coluna) nas duas matrizes são chamados elementos correspondentes.
Exemplo:
Duas matrizes $A$ e $B$ são iguais (indicamos $A=B$) se seus elementos correspondentes são iguais. Caso contrário, dizemos que $A$ e $B$ são diferentes (indicamos $A \neq B$).
Matriz Transposta
Dada uma matriz $A=(a_{ij})_{mxn}$, chamamos de matriz transposta de $A$ (indicamos por $A'$) a matriz do tipo $n$ x $m$ que tem as linhas ordenadamente iguais às colunas de $A$.
Exemplo:
Adição de Matrizes
Consideremos duas matrizes $A$ e $B$, do mesmo tipo $mxn$.
A matriz $C$ do tipo $m$ x $n$ obtida pela soma dos elementos correspondentes de $A$ e $B$, é chamada matriz soma de $A$ com $B$ e indicada por $A+B$. Em símbolos:
$$A+B=C \Leftrightarrow a_{ij}+b_{ij}=c_{ij}$$
Exemplo:
Propriedades da Adição
$A+B=B+A$ (Propriedade Comutativa);
$A+(B+C)=(A+B)+C$ (Propriedade Associativa);
$A+(-A)=0$ (Existência do Elemento Oposto);
$A+0=A$ (Existência do Elemento Neutro);
$(A+B)^t=A^t+B^t$ (A Transposta da Soma é Igual à Soma das Transpostas).
Subtração de Matrizes
Consideremos duas matrizes, $A$ e $B$, do mesmo tipo $mxn$.
A matriz $A+(-B)$ é chamada matriz diferença entre $A$ e $B$ e indicada por $A-B$.
Exemplo:
IMAGEM 11!!!
Multiplicação de um Número Real por uma Matriz
Dada uma matriz $A$ do tipo $m$ x $n$ e o número real $k$, o produto de $k$ por $A$, que se indica $k\cdot A$, é uma matriz do tipo $m$ x $n$ obtida pela multiplicação de cada elemento de $A$ por $k$.
Exemplo:
Propriedades da Multiplicação de Número por Matriz
Sendo $A$ e $B$ matrizes do mesmo tipo e $a$ e $b$ números reais, são válidas as seguintes propriedades:
$a\cdot (b\cdot A)=(a\cdot b)\cdot A$;
$a\cdot (A+B)=a\cdot A +a \cdot B$;
$(a+b)\cdot A=a \cdot A + b\cdot A$;
$1 \cdot A=A$;
$(a\cdot A)^t=a\cdot A^t$
Multiplicação de Matrizes
Como a definição dessa operação é um pouco complicada, vamos trabalhar com um exemplo prático.
Imaginemos um laboratório que fabrica, dentre outros, os remédios $a$, $b$ e $c$. Para a produção de $1$ unidade do remédio $a$ são necessários $3g$ do ingrediente $x$, $7g$ do ingrediente $y$ e $10g$ do ingrediente $z$. Com relação ao remédio $b$ são necessários $2g$ de $x$, $4g$ de $y$ e $5g$ de $z$. E para o remédio $c$ precisamos de $5g$ de $x$, $1g$ de $y$ e $6g$ de $z$.
Dispondo esses dados em forma de tabela, temos:
Chamemos de $A$ a matriz quantidade de cada ingrediente pelo remédio associada à tabela acima:
Admitamos que o consumo dos três remédios, nos meses de junho e julho, seja:
Junho: $80$ unidades de $a$, $100$ de $b$ e $150$ de $c$;
Julho: $50$ unidades de $a$, $120$ de $b$ e $90$ de $c$.
Dispondo esses dados em forma de tabela, temos:
Chamemos de $B$ a matiz número de unidades de cada remédio pelo mês de consumo associada à tabela acima:
Com base nesses dados, queremos saber:
a) Quantos gramas de $x$ precisamos para produzir o que será consumido em cada mês?
O resultado é:
Junho: $3\cdot 80 + 2\cdot 100+ 5\cdot 150=1190$Julho: $3 \cdot 50+2\cdot 120+5\cdot 90=840$
b) Quantos gramas de $y$ precisamos para produzir o que será consumido em cada mês?
O resultado é:
Junho: $7 \cdot 80+4\cdot 100+1\cdot 150=1110$
Julho: $7\cdot 50+4\cdot 120+1\cdot 90=920$
c) Quantos gramas de $z$ precisamos para produzir o que será consumido em cada mês?
O resultado é:
Junho: $10 \cdot 80+5\cdot 100+6\cdot 150=2200$
Julho: $10\cdot 50+5\cdot 120+6\cdot 90=1640$
Organizando todos os dados numa tabela, temos:
Chamemos de $C$ a matriz quantidade de cada ingrediente pelo mês de consumo associada à tabela acima:
A matriz $C$ é chamada de produto da matriz $A$ pela matriz $B$ e indicada por $AB$.
Então:
Note que cada elemento $C_{ik}$ da matriz produto é obtido multiplicando-se cada elemento da linha $i$ de $A$ pelos correspondentes elementos da coluna $k$ de $B$ e somando-se os resultados obtidos.
Observações:
1°) Para efetuar a multiplicação de duas matrizes sempre multiplicamos as linhas da 1° matriz pelas colunas da 2°;
2°) Só definimos o produto$AB$ se o número de colunas de $A$ for igual ao número de linhas de $B$;
3°) O número de linhas da matriz produto $C$ é igual ao número de linhas de $A$ e o número de colunas de $C$ é igual ao número de colunas de $B$.
Dispositivo Prático Para Cálculo de Produto
O cálculo do produto de duas matrizes é facilitado com o uso do dispositivo prático mostrado a seguir:
Consideremos, por exemplo, as matrizes $A$ e $B$:
Cada elemento $C_{ik}$ do produto é obtido a partir da linha de $A$ e coluna de $B$ que nele se "cruzam".
Assim, por exemplo, $C_{31}=-1\cdot 3+4\cdot 2=5$.
Matriz Inversa
Consideremos uma matriz quadrada $A$ de ordem $n$.
Se existir uma matriz quadrada $B$, também de ordem $n$, de modo que $AB=BA=I_n$, dizemos que a matriz $A$ é inversível. A matriz $B$ é chamada matriz inversa de $A$ e indicada por $A^{-1}$.
Exemplo:
