Sequências Numéricas

Sequências Numéricas

Definição de Sequências Numéricas

Consideremos, agora, para construir algumas ideias novas, um exemplo envolvendo o conjunto $\mathbb{N}^*$, com seus elementos em ordem crescente, e o conjunto $B=\{2,5,8,11,14,17\cdots\}$, no qual cada elemento, a partir do segundo é igual ao anterior somado com $3$.

Podemos associar os elementos de $\mathbb{N}^*$ e $B$ de acordo com o diagrama de flechas a seguir:

Nessa associação, notamos que a cada número natural corresponde um único número do conjunto $B$ e que, portanto, temos uma função de domínio $D=\mathbb{N}^*$ e com imagens em $B$. Chamando essa função de $f$, temos que:

$$f(1)=2$$

$$f(2)=5$$

$$f(3)=8$$

E assim sucessivamente. Percebemos então, que podemos definir sequência como uma função.

Portanto podemos afirmar que:

Sequência Numérica é uma função de $\mathbb{N}^*$ ou de $A=\{1,2,3,\cdots ,n\}$, sendo $A \subset \mathbb{N}^*$, em outro conjunto numérico $B$, sendo $B \subset \mathbb{R}$.

Indicando a sequência por $f$, temos que seu valor em $n$ é $f(n)$.

Como, quase sempre, nosso interesse está mais mais voltado para os elementos de $B$ como sendo a própria sequência formado por pontos isolados e dispersos do plano cartesiano.

Para o exemplo construído nesse item, o gráfico é:

Progressão Aritmética 

Toda sequência numérica na qual, a partir do segundo, cada termo é igual à soma de seu antecessor com uma constante chama-se Progressão Aritmética (PA).

Essa constante é chamada de razão e é indicada pela letra $r$.

Então, pela definição dada, temos:

$$(a_1,a_2,a_3,\cdots, a_{n-1},a_n,\cdots) \rightarrow a_n=a_{n-1}+r$$

Pela definição, temos também:

$$a_n-a_{n-1}=r$$

Fórmula do Termo Geral e Soma dos Termos de uma PA

Esse conteúdo já foi postado aqui no blog. Ainda não viu? Dê uma olhada :D

Link -Progressão Aritmética

Progressões Geométricas (PG)

Toda sequência numérica na qual, a partir do segundo, cada termo é igual ao produto de seu antecessor por uma constante chama-se progressão geométrica (PG).

A constante é indicada pela letra $q$ e é chamada de razão.

Pela definição, temos:

$$(a_1,a_2,a_3,\cdots , a_{n-1},a_n,\cdots) \rightarrow a_n=a_{n-1}\cdot q$$

A PG pode ser classificada em:

Crescrente (Quando um termo é maior que seu antecessor);

Decrescente (Quando um termo é menor que seu antecessor);

Constante (Quando todos os termos são iguais);

Oscilante (Quando cada termo, a partir do segundo, tem sinal contrário ao de seu antecessor.

Fórmula do Termo Geral e Soma dos Termos de uma PG

Esse conteúdo já foi postado aqui no blog. Ainda não viu? Dê uma olhada :D

Link -Progressão Geométrica