Sistemas Lineares
O assunto que estudaremos nesta postagem tem aplicações dentro de muitas áreas do conhecimento, além da matemática.
Você pode formar uma primeira ideia do que vem a ser uma equação linear e um sistema linear, através do seguinte tipo de problema, bastante simples.
Nas linhas de produção de uma montadora de automóveis e motocicletas, existem 63 veículos aguardando a colocação de pneus. Sabendo que são necessários 176 pneus, sem levar em conta os estepes, quantos automóveis e quantas motocicletas ocupam as referidas linhas?
Seja:
x o número de automóveis e;
y o número de motocicletas.
As linhas de produção são ocupadas por 63 veículos, logo, podemos escrever que:
x+y=63
Como 4 é o número de pneus de cada automóvel, serão necessários 4x pneus de automóveis.
De forma análoga, concluímos que serão necessários 2y pneus de motocicletas.
O enunciado nos informa que são necessários 176 pneus, portanto, temos que:
4x+2y=176
As duas equações formadas são do 1° grau com duas incógnitas, sendo também chamadas de equações lineares com duas incógnitas e formam o seguinte sistema:
Para resolvê-lo, podemos usar o método da substituição, que relembraremos em seguida:
Podemos isolar y na primeira equação, ficando com y=63-x.
Substituindo na segunda equação, temos:
4x+2(63-x)=176 \rightarrow 4x+126-2x=176 \rightarrow 2x=50 \therefore x=25
Voltando com x=25 em y=63-x:
y=63-25=38
Portanto, temos 25 automóveis e 38 motocicletas, sendo que o par (25,38) é a solução do sistema.
Neste exemplo dado cada equação tem 2 incógnitas e o sistema formado possui duas equações. Como veremos adiante, as equações lineares podem ter mais de duas incógnitas ou até uma só, e os sistemas lineares podem ser formados por mais de duas equações.
Vamos agora definir, de maneira formal e geral, equação linear e sistema linear, e estudar outros conceitos como, também, processos para resolver sistemas lineares.
Equação Linear
Toda equação do tipo a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+a_{3}x_{3}+\cdots + a_{n}x_{n}=b é uma equação linear. Os números reais a_1, a_2, a_3, \cdots, a_n são chamados, respectivamente, de coeficientes das incógnitas x_1, x_2, x_3, \cdots, x_n, e b é o termo independente da equação.
No caso particular onde b=0, temos uma equação linear homogênea.
Sistema Linear
Um sistema linear é qualquer conjunto de equações lineares.
Um sistema linear S de m equações com n incógnitas pode ser, de modo geral, representado por:
No caso particular em que b_1=b_2=b_3=\cdots = b_m=0, o sistema é chamado de sistema homogêneo.
O conjunto de todas as ênuplas que são soluções de um sistema linear qualquer chama-se conjunto solução ou conjunto verdade desse sistema.
Classificação de um Sistema Linear
Um sistema linear S pode ter, quanto ao número de soluções, uma única solução, infinitas soluções ou nenhuma solução.
Um sistema é:
Possível (ou compatível) e determinado quando tem uma única solução;
Possível e indeterminado quando tem infinitas soluções;
Impossível quando não tem solução.
Esquematicamente:
Matrizes Associadas a um Sistema Linear
Seja um sistema linear S de m equações e n incógnitas. Podemos associar a ele as seguintes matrizes:
O sistema S também pode ser escrito em sua forma matricial:
Quando a matriz incompleta A é quadrada, dizemos que o seu determinante é o determinante do sistema.
Um sistema linear de n equações (m=n) é chamado normal se o seu determinante é diferente de 0.
Exemplo:
Resolução de um Sistema Linear n x n pela Regra de Cramer
A regra de Cramer só serve para resolver sistemas normais. Vejamos, através de um exemplo, como é essa regra.
Substituindo a 1° coluna de A pela coluna formada pelos termos independentes do sistema, obtemos a matriz:
Substituindo a 2° coluna de A pela coluna formada pelos termos independentes do sistema, obtemos a matriz:
Finalmente, substituindo a 3° coluna de A pela coluna formada pelos termos independentes, obtemos a matriz.
A Regra de Cramer estabelece que:
