Sistemas Lineares
O assunto que estudaremos nesta postagem tem aplicações dentro de muitas áreas do conhecimento, além da matemática.
Você pode formar uma primeira ideia do que vem a ser uma equação linear e um sistema linear, através do seguinte tipo de problema, bastante simples.
Nas linhas de produção de uma montadora de automóveis e motocicletas, existem $63$ veículos aguardando a colocação de pneus. Sabendo que são necessários $176$ pneus, sem levar em conta os estepes, quantos automóveis e quantas motocicletas ocupam as referidas linhas?
Seja:
$x$ o número de automóveis e;
$y$ o número de motocicletas.
As linhas de produção são ocupadas por $63$ veículos, logo, podemos escrever que:
$$x+y=63$$
Como $4$ é o número de pneus de cada automóvel, serão necessários $4x$ pneus de automóveis.
De forma análoga, concluímos que serão necessários $2y$ pneus de motocicletas.
O enunciado nos informa que são necessários $176$ pneus, portanto, temos que:
$$4x+2y=176$$
As duas equações formadas são do 1° grau com duas incógnitas, sendo também chamadas de equações lineares com duas incógnitas e formam o seguinte sistema:
Para resolvê-lo, podemos usar o método da substituição, que relembraremos em seguida:
Podemos isolar $y$ na primeira equação, ficando com $y=63-x$.
Substituindo na segunda equação, temos:
$4x+2(63-x)=176 \rightarrow 4x+126-2x=176 \rightarrow 2x=50 \therefore x=25$
Voltando com $x=25$ em $y=63-x$:
$y=63-25=38$
Portanto, temos $25$ automóveis e $38$ motocicletas, sendo que o par $(25,38)$ é a solução do sistema.
Neste exemplo dado cada equação tem 2 incógnitas e o sistema formado possui duas equações. Como veremos adiante, as equações lineares podem ter mais de duas incógnitas ou até uma só, e os sistemas lineares podem ser formados por mais de duas equações.
Vamos agora definir, de maneira formal e geral, equação linear e sistema linear, e estudar outros conceitos como, também, processos para resolver sistemas lineares.
Equação Linear
Toda equação do tipo $a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+a_{3}x_{3}+\cdots + a_{n}x_{n}=b$ é uma equação linear. Os números reais $a_1$, $a_2$, $a_3$, $\cdots$, $a_n$ são chamados, respectivamente, de coeficientes das incógnitas $x_1$, $x_2$, $x_3$, $\cdots$, $x_n$, e $b$ é o termo independente da equação.
No caso particular onde $b=0$, temos uma equação linear homogênea.
Sistema Linear
Um sistema linear é qualquer conjunto de equações lineares.
Um sistema linear $S$ de $m$ equações com $n$ incógnitas pode ser, de modo geral, representado por:
No caso particular em que $b_1=b_2=b_3=\cdots = b_m=0$, o sistema é chamado de sistema homogêneo.
O conjunto de todas as ênuplas que são soluções de um sistema linear qualquer chama-se conjunto solução ou conjunto verdade desse sistema.
Classificação de um Sistema Linear
Um sistema linear $S$ pode ter, quanto ao número de soluções, uma única solução, infinitas soluções ou nenhuma solução.
Um sistema é:
Possível (ou compatível) e determinado quando tem uma única solução;
Possível e indeterminado quando tem infinitas soluções;
Impossível quando não tem solução.
Esquematicamente:
Matrizes Associadas a um Sistema Linear
Seja um sistema linear $S$ de $m$ equações e $n$ incógnitas. Podemos associar a ele as seguintes matrizes:
O sistema $S$ também pode ser escrito em sua forma matricial:
Quando a matriz incompleta $A$ é quadrada, dizemos que o seu determinante é o determinante do sistema.
Um sistema linear de $n$ equações $(m=n)$ é chamado normal se o seu determinante é diferente de 0.
Exemplo:
Resolução de um Sistema Linear $n$ x $n$ pela Regra de Cramer
A regra de Cramer só serve para resolver sistemas normais. Vejamos, através de um exemplo, como é essa regra.
Substituindo a 1° coluna de $A$ pela coluna formada pelos termos independentes do sistema, obtemos a matriz:
Substituindo a 2° coluna de $A$ pela coluna formada pelos termos independentes do sistema, obtemos a matriz:
Finalmente, substituindo a 3° coluna de $A$ pela coluna formada pelos termos independentes, obtemos a matriz.
A Regra de Cramer estabelece que:
