Coordenadas do Vértice da Parábola

Demonstrações

Para um real entendimento sobre determinado tema, mais importante do que decorar certas fórmulas é entender o raciocínio utilizado para se chegar a essa expressão. Venho por meio dessa série de post's, demonstrar algumas fórmulas usadas na Matemática e Física.

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Coordenadas do Vértice da Parábola

Sabemos que a função $y=ax^2+bx+c$ corta o eixo vertical no ponto $(0,c)$.

Quando $y=c$, podemos escrever:

$$c=ax^2+bx+c \therefore ax^2+bx=0$$
Isolando $x$, obtemos:

$$x(ax+b)=0$$
Resultando assim em $x=0$ e $x=\displaystyle -\frac{b}{a}$

Observe a figura abaixo:

A coordenada $x$ do vértice $V$ pertence ao eixo de simetria. Portanto:
$$x_v=\displaystyle \frac{-\frac{b}{a}+0}{2}=-\frac{b}{2a}$$

Já $y_v$ é a imagem de $x_v$. Logo:
$$y_v=ax_v^2+bx_v+c \therefore y_v=a\cdot (\displaystyle -\frac{b}{a})^2+b\cdot  (\displaystyle -\frac{b}{a})+c$$

Simplificando e desenvolvendo, obtemos:
$$y_v=\displaystyle -\frac{\Delta}{4a}$$

Portanto, as coordenadas do vértice serão dadas por:
$$V=\displaystyle (-\frac{b}{2a},-\frac{\Delta}{4a})$$