Números Complexos

Introdução

Quando resolvemos uma equação do 2° grau $x^2+2x+5=0$, por exemplo, utilizando a fórmula de Bháskara, encontramos:
$$x=\frac{-2 \pm \sqrt{2^2-4\cdot 1\cdot 5}}{2\cdot 1}=\frac{-2\pm \sqrt{-16}}{2}$$
Para determinar o valor de $x$, é preciso calcular a raiz quadrada de $-16$. Em $\mathbb{R}$, porém, isso é impossível, pois não existe um número $m$ tal que $m^2=-16$.
A necessidade de se obter uma solução para esse tipo de problema levou os matemáticos a procurar novos conjuntos em que "o quadrado de um certo elemento possa ser negativo".
Historicamente, uma equação era vista como a formulação matemática de um problema concreto; assim, se no processo de resolução aparecia um radicando negativo, os matemáticos concluíam, simplesmente, que o problema não tinha solução prática.
Muitos matemáticos procuraram dar uma solução para esse problema, principalmente os italianos Girolamo Cardano (1501-1576) e Raphael Bombelli (1526-1573), no século XVI, os quais deram importantes contribuições para o entendimento dessa questão.
O reconhecimento de números dessa natureza na matemática só ganhou impulso e legitimação com uma poderosa interpretação geométrica, proposta por Gauss (1777-1855).

Operações Com Pares Ordenados

Consideremos o conjunto de todos os pares ordenados $(x,y)$ do plano cartesiano, em que $x \in \mathbb{R}$ e $y \in \mathbb{R}$. valem as seguintes definições:

$$(a,b)=(c,d) \Leftrightarrow a=c/b=d$$

$$(a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)$$

$$(a,b)\cdot (c,d)=(ac-bd,ad+bc)$$

Definição

Chama-se conjunto dos números complexos, e representa-se por $\mathbb{C}$, o conjunto de pares ordenados de números reais.

$$z \in \mathbb{C} \Leftrightarrow z=(x,y)$$

Observamos que, dado um número complexo $z=(x,y)$, temos:

$$z=(x,y)=(x,0)+(0,y)=(x,0)+(y\cdot 0-0\cdot 1,y\cdot 1+0\cdot 0)$$

$$(x,0)+(y,0)\cdot(0,1)$$

Como $(x,0)=x$, $(y,0)=y$ e $(0,1)=i$, podemos escrever:

$$z=x+yi$$

Dessa forma, todo número complexo $x=(x,y)$ pode ser escrito na forma $z=x+yi$, chamada forma algébrica. O número real $x$ é chamado parte real de $z$, e o número real $y$ é chamado parte imaginária de $z$. Indica-se por:

$$x=Re(z)$$

$$y=Im(z)$$

Se $Im(z)=0$, $z$ é um número real.

Se $Re(z)=0$, $z$ é um imaginário puro.

Conjugado de um Número Complexo

Dado um número complexo $z=(a,b)$, consideremos o par ordenado simétrico a $z$ em relação ao eixo $x$. Tal par é chamado conjugado de $z$, e é indicado por $\overline{z}$.

Trabalhando com os pares na forma algébrica, dizemos que, se $z=a+bi$, seu conjugado é $\overline{z}=a-bi$.

Divisão de um Número Complexo

Sejam dois números complexos, $z_1=a+bi$ e $z_2=c+di$, sendo $z_2 \neq 0$. Dividir $z_1$ por $z_2$ é obter um número complexo $z_3=x+yi$.

Para isso, basta multiplicarmos pelo conjugado do denominador:

$$\frac{z_1}{z_2}=\frac{z_1}{z_2}\frac{\overline{z_2}}{\overline{z_2}}=\frac{(a+bi)(c-di)}{(c+di)(c-di)}$$

$$\frac{ac-adi+bci-bdi^2}{c^2-(di)^2}=\frac{ac+bd}{c^2+d^2}+\frac{bc-ad}{c^2+d^2}i$$

Potências de $i$

Seja $i$ a unidade imaginária. vamos calcular $i^n$, para alguns valores naturais de $n$. Temos:

$$i^0=1$$

$$i^1=i$$

$$i^2=-1$$

$$i^3=i^2\cdot i=(-1)i=-i$$

$$i^4=i^2\cdot i^2=(-1)\cdot(-1)=1$$

$$i^5=i^4\cdot i=1\cdot i=i$$

$$i^6=i^5\cdot i=i\cdot i=-1$$

$$I^7=I^6\cdot i=(-1)\cdot i=-i$$

Como vemos, os resultados de $i^n$, com o expoente $n$ variando, repetem-se de quatro em quatro unidades. Notemos que:

$$i^{4n}=(i^4)^n=1^n=1$$

$$i^{4n+1}=i^{4n}\cdot i=1\cdot i=i$$

$$i^{4n+2}=i^{4n}\cdot i^2=1\cdot (-1)=-1$$

$$i^{4n+3}=i^{4n}\cdot i^3=1\cdot (-i)=-i$$

Dessa forma, para calcular $i^n$ basta calcular $i^r$,sendo $r$ o resto da divisão de $n$ por 4.

Módulo

Seja $z=a+bi$ a forma algébrica de um número complexo cujo afixo ou imagem geométrica é o ponto $P(a,b)$. Vamos supor que $P$ pertença ao 1° quadrante, conforme indica a imagem abaixo:

Unindo $P$ à origem $O$, obtemos o segmento $\overline{OP}$.

O triângulo PQO é retângulo em Q. Aplicando o teorema de Pitágoras, vem:

$$(OP)^2=(OQ)^2+(PQ)^2 \therefore (OP)^2=a^2+b^2\therefore OP=\sqrt{a^2+b^2}$$

A medida de $\overline{OP}$ é também chamada de módulo de um número complexo, e a indicaremos por $|z|$ ou $\rho$.

Dessa maneira, o módulo de $z$ é a distância entre a origem e a imagem geométrica de $z$.

Argumento

Retomamos  a imagem anterior:

Consideremos $\theta$ o ângulo formado pela semi-reta $\overline{OP}$ e pelo semi-eixo real positivo, tomado a partir desse semi-eixo, no sentido anti-horário.

$\theta$ é chamado argumento principal.

Forma Trigonométrica ou Polar

Seja $z=a+bi$ a forma algébrica de um número complexo. Temos as seguintes relações:

$$\sin(\theta)=\frac{b}{|z|}\therefore b=|z|\cdot \sin(\theta)$$

$$\cos(\theta)=\frac{a}{|z|}\therefore a=|z| \cdot \cos(\theta)$$

Substituindo tais valores na forma algébrica, vem:

$$z=|z|(\cos(\theta)+i\cdot \sin(\theta))$$

Operações na Forma Trigonométrica

Multiplicação

Para multiplicarmos 2 números complexos, basta multiplicar seus módulos e somar seus argumentos, ou seja:

$$z_1\cdot z_2=|z_1|\cdot |z_2|[\cos(\theta_1+\theta_2)+i\cdot \sin(\theta_1+\theta_2)]$$

O mesmo raciocínio pode ser aplicado para $n$ números complexos.

Divisão

Para dividirmos 2 números complexos, basta dividir seus módulos e subtrair seus argumentos, ou seja:
$$\frac{ |z_1| } { |z_2| } \cdot [ \cos (\theta_1 - \theta_2 )+ i \cdot \sin(\theta_1 - \theta_2)]$$

Potenciação em $\mathbb{C}$

O cálculo da potência $z^n$, fica muito trabalhoso quando escrevemos $z$ na forma algébrica, pois temos que desenvolver $(a+bi)^n$ usando o binômio de Newton.

É possível demonstrar que uma potência de $z$ pode ser calculada pela Fórmula de Moivre:

$$z^n=|z|^n[\cos(n\theta)+i\cdot \sin(n\theta)]$$

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