Demonstrações
Para um real entendimento sobre determinado tema, mais importante do que decorar certas fórmulas é entender o raciocínio utilizado para se chegar a essa expressão. Venho por meio dessa série de post's, demonstrar algumas fórmulas usadas na Matemática e Física.
----------------------------------------------------------------------------------------Demonstração das Fórmulas de Cinemática Pela 2 Lei de Newton
Temos que a 2 Lei de Newton é
$$F=ma$$
Sendo $a$, uma taxa de variação da velocidade pelo tempo, podemos escrever:
$$F=m\frac{dv}{dt}$$
Ou ainda:
$$\frac{dv}{dt}=\frac{F}{m}\Rightarrow dv=\frac{F}{m}dt$$
Como a Integral é o processo inverso da derivada, podemos fazer:
$$\int_{t_0}^{t_f}dv=\int_{t_0}^{t_f}\frac{F}{m}dt$$
Sendo $F$ e $m$ constantes.
Temos portanto:
$$v(t_f)-v(t_0)=\frac{F}{m}(t_f-t_0)$$
Sabendo que $\frac{F}{m}=a$, e para efeitos de simplificação, $t_0=0$, $v(t_f)=v$, temos:
$$v-v_0=at \Rightarrow v=v_0+at$$
Essa é a Equação Horária da Velocidade!
Agora, sabendo que a velocidade é a taxa de variação da posição pelo tempo, temos:
$$\frac{dx}{dt}=v_0+at$$
Integrando, temos:
$$x_f-x_0=\int_{t_0}^{t_f}v_0dt+a\int_{t_0}^{t_f}tdt$$
$$x_f-x_0=v_0(t_f-t_0)+a(\frac{t^2_f}{2}-\frac{t^2_0}{2})$$
Sendo $t_0=0$, $x_f=x$, temos:
$$x-x_0=v_0t+a\frac{t^2}{2}\Rightarrow x=x_0+v_0t+\frac{at^2}{2}$$
Que é a Equação Horária da Posição.
Até mais, e qualquer dúvida me contatem pelo facebook!