Demonstrações
Para um real entendimento sobre determinado tema, mais importante do que decorar certas fórmulas é entender o raciocínio utilizado para se chegar a essa expressão. Venho por meio dessa série de post's, demonstrar algumas fórmulas usadas na Matemática e Física.
----------------------------------------------------------------------------------------Demonstração da Derivada da Tangente
Seja $f(x)=\tan(x)$.
Podemos reescrever$f(x)$ como sendo:
$$f(x)=\frac{\sin(x)}{\cos(x)}$$
Aplicando a Regra do Quociente, temos:
$$f'(x)=\frac{(\sin(x))'\cdot (\cos(x))-(\sin(x))\cdot (\cos(x))')}{\cos^2(x)}$$
$$f'(x)=\frac{(\cos(x)\cdot \cos(x))-(\sin(x)\cdot (-\sin(x)))}{\cos^2(x)}$$
Temos portanto:
$$\frac{\cos^2(x)+\sin^2(x)}{\cos^2(x)}$$
Porém da Relação Fundamental da Trigonometria, temos que:
$$\cos^2(x)+\sin^2(x)=1$$
Logo:
$$f'(x)=\frac{1}{\cos^2(x)}$$
Tendo em vista que $$\frac{1}{\cos(x)}=\sec(x)$$
$$f'(x)=\frac{1}{\cos^2(x)}=\frac{1}{\cos(x)}\cdot \frac{1}{\cos(x)}=\sec^2(x)$$
Que é a derivada da $\tan(x)$.
Até mais, e qualquer dúvida me contatem pelo facebook!
Podemos reescrever$f(x)$ como sendo:
$$f(x)=\frac{\sin(x)}{\cos(x)}$$
Aplicando a Regra do Quociente, temos:
$$f'(x)=\frac{(\sin(x))'\cdot (\cos(x))-(\sin(x))\cdot (\cos(x))')}{\cos^2(x)}$$
$$f'(x)=\frac{(\cos(x)\cdot \cos(x))-(\sin(x)\cdot (-\sin(x)))}{\cos^2(x)}$$
Temos portanto:
$$\frac{\cos^2(x)+\sin^2(x)}{\cos^2(x)}$$
Porém da Relação Fundamental da Trigonometria, temos que:
$$\cos^2(x)+\sin^2(x)=1$$
Logo:
$$f'(x)=\frac{1}{\cos^2(x)}$$
Tendo em vista que $$\frac{1}{\cos(x)}=\sec(x)$$
$$f'(x)=\frac{1}{\cos^2(x)}=\frac{1}{\cos(x)}\cdot \frac{1}{\cos(x)}=\sec^2(x)$$
Que é a derivada da $\tan(x)$.
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