Demonstrações
Para um real entendimento sobre determinado tema, mais importante do que decorar certas fórmulas é entender o raciocínio utilizado para se chegar a essa expressão. Venho por meio dessa série de post's, demonstrar algumas fórmulas usadas na Matemática e Física.
----------------------------------------------------------------------------------------Demonstração da Derivada da Tangente
Seja f(x)=\tan(x).
Podemos reescreverf(x) como sendo:
f(x)=\frac{\sin(x)}{\cos(x)}
Aplicando a Regra do Quociente, temos:
f'(x)=\frac{(\sin(x))'\cdot (\cos(x))-(\sin(x))\cdot (\cos(x))')}{\cos^2(x)}
f'(x)=\frac{(\cos(x)\cdot \cos(x))-(\sin(x)\cdot (-\sin(x)))}{\cos^2(x)}
Temos portanto:
\frac{\cos^2(x)+\sin^2(x)}{\cos^2(x)}
Porém da Relação Fundamental da Trigonometria, temos que:
\cos^2(x)+\sin^2(x)=1
Logo:
f'(x)=\frac{1}{\cos^2(x)}
Tendo em vista que \frac{1}{\cos(x)}=\sec(x)
f'(x)=\frac{1}{\cos^2(x)}=\frac{1}{\cos(x)}\cdot \frac{1}{\cos(x)}=\sec^2(x)
Que é a derivada da \tan(x).
Até mais, e qualquer dúvida me contatem pelo facebook!
Podemos reescreverf(x) como sendo:
f(x)=\frac{\sin(x)}{\cos(x)}
Aplicando a Regra do Quociente, temos:
f'(x)=\frac{(\sin(x))'\cdot (\cos(x))-(\sin(x))\cdot (\cos(x))')}{\cos^2(x)}
f'(x)=\frac{(\cos(x)\cdot \cos(x))-(\sin(x)\cdot (-\sin(x)))}{\cos^2(x)}
Temos portanto:
\frac{\cos^2(x)+\sin^2(x)}{\cos^2(x)}
Porém da Relação Fundamental da Trigonometria, temos que:
\cos^2(x)+\sin^2(x)=1
Logo:
f'(x)=\frac{1}{\cos^2(x)}
Tendo em vista que \frac{1}{\cos(x)}=\sec(x)
f'(x)=\frac{1}{\cos^2(x)}=\frac{1}{\cos(x)}\cdot \frac{1}{\cos(x)}=\sec^2(x)
Que é a derivada da \tan(x).
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