Demonstração da Derivada do Logaritmo

Demonstrações

Para um real entendimento sobre determinado tema, mais importante do que decorar certas fórmulas é entender o raciocínio utilizado para se chegar a essa expressão. Venho por meio dessa série de post's, demonstrar algumas fórmulas usadas na Matemática e Física.

----------------------------------------------------------------------------------------

Demonstração da Derivada do Logaritmo

Seja $f(x)=\ln(x)$.
Sua derivada é dada por:
$$f'(x)=\lim_{h\to 0}\frac{f{(x+h)}-f(x)}{h}=\lim_{h\to 0}\frac{\ln{(x+h)}-\ln(x)}{h}$$
Pela propriedade do logaritmo da diferença, temos:
$$f'(x)=\lim_{h\to 0}\frac{1}{h}\cdot \ln \frac{x+h}{x}$$
Dessa vez utilizando a Propriedade da Potência, temos:
$$\displaystyle f'(x)=\lim_{h\to 0} \ln (\frac{x+h}{x})^{\frac{1}{h}}$$
Fazendo a seguinte troca de variável, temos:
$$\frac{h}{x}=t\Rightarrow h=xt$$
Portanto temos:
$$f'(x)=\lim_{t\to 0} [(1+t)^{\frac{1}{t}}]^{\frac{1}{x}}$$
Entretanto, do limite fundamental exponencial temos:
$$\lim_{t\to0}(1+t)^{\frac{1}{t}}=e$$
Logo:
$$f'(x)=\ln(e^{\frac{1}{x}})=\frac{1}{x}\ln e$$
Já vimos que $\ln e=1$ logo:
$$f'(x)=\frac{1}{x}$$
Que é a derivada da função $y=\ln x$.
Porém e se tivermos uma base qualquer?
Vamos supor $y=\log_a(x)$
Efetuando uma mudança de base, temos:
$$y=\frac{\ln x}{\ln a}$$
Cuja derivada é:
$$y'=\frac{1}{x\cdot \ln a}$$
Até mais, e qualquer dúvida me contatem pelo facebook!