Demonstrações
Para um real entendimento sobre determinado tema, mais importante do que decorar certas fórmulas é entender o raciocínio utilizado para se chegar a essa expressão. Venho por meio dessa série de post's, demonstrar algumas fórmulas usadas na Matemática e Física.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Demonstração da Derivada da Exponencial
Antes de mais nada, lembremos do seguinte limite notável:
$$\lim_{h\to 0}\frac{a^h-1}{h}=ln(a)$$
Diante disso, podemos prosseguir:
Seja $\displaystyle f(x)=a^x$, com $a>0$ e $a \neq 1$.
Sua derivada é dada por:
$$f'(x)=\lim_{h\to 0}\frac{a^{(x+h)}-a^x}{h}$$
Sabendo que:
$$a^{(x+h)}=a^x \cdot a^h$$
Temos:
$$f'(x)=\lim_{h\to 0}\frac{a^x \cdot a^h-a^x}{h}$$
Evidenciando $a^x$, obtemos:
$$f'(x)=\lim_{h\to 0}\frac{a^x(a^h-1)}{h}$$
Como $a^x$ não depende de $h$, temos:
$$f'(x)=a^x \lim_{h\to 0}\frac{a^h-1}{h}$$
Utilizando o limite notável explicitado no início do post, temos:
$$f'(x)=a^x\cdot ln(a)$$
Que é a Regra da Derivada da Exponencial.
Em cálculo, temos um caso particular de exponencial. O número $e$.
Aplicando a regra que acabamos de demonstrar, temos:
$$f(x)=e^x$$
$$f'(x)=e^x\cdot ln(e)$$
Como $ln(e)=1$, temos que a Derivada de $e^x$ é o próprio $e^x$!
Até mais, e qualquer dúvida me contatem pelo facebook!