Demonstrações
Para um real entendimento sobre determinado tema, mais importante do que decorar certas fórmulas é entender o raciocínio utilizado para se chegar a essa expressão. Venho por meio dessa série de post's, demonstrar algumas fórmulas usadas na Matemática e Física.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Demonstração da Derivada da Exponencial
Antes de mais nada, lembremos do seguinte limite notável:
\lim_{h\to 0}\frac{a^h-1}{h}=ln(a)
Diante disso, podemos prosseguir:
Seja \displaystyle f(x)=a^x, com a>0 e a \neq 1.
Sua derivada é dada por:
f'(x)=\lim_{h\to 0}\frac{a^{(x+h)}-a^x}{h}
Sabendo que:
a^{(x+h)}=a^x \cdot a^h
Temos:
f'(x)=\lim_{h\to 0}\frac{a^x \cdot a^h-a^x}{h}
Evidenciando a^x, obtemos:
f'(x)=\lim_{h\to 0}\frac{a^x(a^h-1)}{h}
Como a^x não depende de h, temos:
f'(x)=a^x \lim_{h\to 0}\frac{a^h-1}{h}
Utilizando o limite notável explicitado no início do post, temos:
f'(x)=a^x\cdot ln(a)
Que é a Regra da Derivada da Exponencial.
Em cálculo, temos um caso particular de exponencial. O número e.
Aplicando a regra que acabamos de demonstrar, temos:
f(x)=e^x
f'(x)=e^x\cdot ln(e)
Como ln(e)=1, temos que a Derivada de e^x é o próprio e^x!
Até mais, e qualquer dúvida me contatem pelo facebook!
