Demonstrações
Para um real entendimento sobre determinado tema, mais importante do que decorar certas fórmulas é entender o raciocínio utilizado para se chegar a essa expressão. Venho por meio dessa série de post's, demonstrar algumas fórmulas usadas na Matemática e Física.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Demonstração da Derivada do Cosseno
Antes de mais nada, lembremos 2 limites notáveis:
\lim_{h\to 0}\frac{\sin h}{h}=1
\lim_{h\to 0}\frac{1-\cos h}{h}=0
Diante disso, podemos prosseguir:
Seja \displaystyle f(x)=\cos(x).
Sua derivada é dada por:
f'(x)=\lim_{h\to 0}\frac{\cos (x+h)-\cos (x)}{h}
Sabendo que:
\cos (x+h)=\cos (x) \cdot \cos (h)-\sin(h)\cdot \sin (x)
Temos:
f'(x)=\lim_{h\to 0}\frac{\cos (x) \cdot \cos (h)-\sin(h)\cdot \sin (x)-\cos (x)}{h}
Evidenciando \cos (x), obtemos:
f'(x)=\lim_{h\to 0}\frac{\cos(x)(\cos (h)-1)- \sin(h)\cdot \sin (x)}{h}
Como o limite da diferença é a diferença dos limites, temos:
f'(x)=\lim_{h\to 0}\frac{\cos(x)(\cos (h)-1)}{h}-\lim_{h\to 0}\frac{\sin(h)\cdot \sin (x)}{h}
Como \sin(x) e \cos (x) não dependem de h, temos:
f'(x)=\cos(x) \lim_{h\to 0}\frac{\cos (h)-1}{h}-\sin (x) \lim_{h\to 0}\frac{\sin(h)}{h}
Utilizando os 2 limites notáveis explicitados no início do post, temos:
f'(x)=-\sin(x)
Que é a Regra da Derivada do Cosseno.
Até mais, e qualquer dúvida me contatem pelo facebook!
