Demonstrações
Para um real entendimento sobre determinado tema, mais importante do que decorar certas fórmulas é entender o raciocínio utilizado para se chegar a essa expressão. Venho por meio dessa série de post's, demonstrar algumas fórmulas usadas na Matemática e Física.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Demonstração da Derivada do Seno
Antes de mais nada, lembremos 2 limites notáveis:
$$\lim_{h\to 0}\frac{\sin h}{h}=1$$
$$\lim_{h\to 0}\frac{1-\cos h}{h}=0$$
Diante disso, podemos prosseguir:
Seja $\displaystyle f(x)=\sin(x)$.
Sua derivada é dada por:
$$f'(x)=\lim_{h\to 0}\frac{\sin (x+h)-\sin (x)}{h}$$
Sabendo que:
$$\sin (x+h)=\sin(x) \cdot \cos (h)+\sin(h)\cdot \cos (x) $$
Temos:
$$f'(x)=\lim_{h\to 0}\frac{\sin(x) \cdot \cos (h)+\sin(h)\cdot \cos (x)-\sin (x)}{h}$$
Evidenciando $\sin (x)$, obtemos:
$$f'(x)=\lim_{h\to 0}\frac{\sin(x)(\cos (h)-1)+ \sin(h)\cdot \cos (x)}{h}$$
Como o limite da soma é a soma dos limites, temos:
$$f'(x)=\lim_{h\to 0}\frac{\sin(x)(\cos (h)-1)}{h}+\lim_{h\to 0}\frac{ \sin(h)\cdot \cos (x)}{h}$$
Como $\sin(x)$ e $\cos (x)$ não dependem de $h$, temos:
$$f'(x)=\sin(x) \lim_{h\to 0}\frac{\cos (h)-1}{h}+\cos (x) \lim_{h\to 0}\frac{\sin(h)}{h}$$
Utilizando os 2 limites notáveis explicitados no início do post, temos:
$$f'(x)=\cos(x)$$
Que é a Regra da Derivada do Seno.
Até mais, e qualquer dúvida me contatem pelo facebook!