Demonstrações
Para um real entendimento sobre determinado tema, mais importante do que decorar certas fórmulas é entender o raciocínio utilizado para se chegar a essa expressão. Venho por meio dessa série de post's, demonstrar algumas fórmulas usadas na Matemática e Física.
----------------------------------------------------------------------------------------Demonstração da Derivada da Inversa do Cosseno
Seja a seguinte função:
f=\cos^{-1}(x)
Isso significa que:
\cos(y)=x
Derivando implicitamente em relação a x, temos:
-\sin(y)\frac{dy}{dx}=1
Ou ainda:
\frac{dy}{dx}=-\frac{1}{\sin(y)}
Através da Relação Fundamental da Trigonometria, temos:
\cos^2(y)+\sin^2(y)=1 \Rightarrow \sin^2(y)=1-\cos^2(y)
Temos portanto, a seguinte expressão:
\sin(y)=\sqrt{1-\cos^2(y)}
Lembrando-se de que \cos(y)=x, temos:
\sin(y)=\sqrt{1-x^2}
Logo, a derivada da Inversa do Cosseno é:
(\cos^{-1})'=\frac{dy}{dx}=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}
Até mais, e qualquer dúvida me contatem pelo Facebook!
f=\cos^{-1}(x)
Isso significa que:
\cos(y)=x
Derivando implicitamente em relação a x, temos:
-\sin(y)\frac{dy}{dx}=1
Ou ainda:
\frac{dy}{dx}=-\frac{1}{\sin(y)}
Através da Relação Fundamental da Trigonometria, temos:
\cos^2(y)+\sin^2(y)=1 \Rightarrow \sin^2(y)=1-\cos^2(y)
Temos portanto, a seguinte expressão:
\sin(y)=\sqrt{1-\cos^2(y)}
Lembrando-se de que \cos(y)=x, temos:
\sin(y)=\sqrt{1-x^2}
Logo, a derivada da Inversa do Cosseno é:
(\cos^{-1})'=\frac{dy}{dx}=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}
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