Demonstração das Propriedades do Logarítmo

Demonstrações

Para um real entendimento sobre determinado tema, mais importante do que decorar certas fórmulas é entender o raciocínio utilizado para se chegar a essa expressão. Venho por meio dessa série de post's, demonstrar algumas fórmulas usadas na Matemática e Física.

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Demonstração das Propriedades do Logarítmo

Primeiramente, vamos recordar algumas definições do logarítmo:
Dados 2 números $a$ e $b$, com $a,b>0$ e $b\neq 1$, temos:
$$\log_ba=x \Rightarrow b^x=a$$  
Com isso em mente, vamos provar cada uma das propriedades:

1) $\log_bb=1$
Pela definição, temos:
$$\log_bb=x\Rightarrow b^x=b\Rightarrow x=1$$
2) $\log_b1=0$
$$\log_b1=x\Rightarrow b^x=1$$
Como qualquer número (exceto o $0$) elevado a $0$ é 1, temos que $x=0$.
3) $\log_bb^c=c$
$$\log_bb^c=x\Rightarrow b^x=b^c\Rightarrow x=c$$
4) $b^{log_ba}=a$
Seja $log_ba=y$. Temos, pela definição, que $b^y=a$
Dessa forma, temos que 
$$b^{\log_ba}=b^y=a$$

5) Se $\log_ba=\log_bc$, então $a=c$

Seja $\log_ba=x$. Se ambos os $log$ são iguais, $log_bc=x$.

Aplicando a definição, temos $b^x=a$ e $b^x=c$.
Dessa forma:
$$a=c$$

6) $\log_b(A\cdot B)$

Sejam as seguintes considerações:

$$\log_b(A)=x\Rightarrow b^x=A$$

$$\log_b(B)=y\Rightarrow b^y=B$$

Efetuando $A\cdot B$, temos:
$$A\cdot B=b^x\cdot b^y=b^{x+y}$$

Temos também:

$$\log_b(A\cdot B)=z\Rightarrow b^z=A\cdot B$$

Dessa forma, obtemos:

$$b^{x+y}=b^z\Rightarrow x+y=z$$
Voltando às variáveis originais, temos:

$$\log_b(A)+\log_b(B)=\log_b(A\cdot B)$$

7) $\log_b(A/B)$

A demonstração é análoga a anterior, qualquer dúvida me contate via facebook :)

8)$\log_bA^{\alpha}=\alpha \cdot \log_bA$

Seja $\log_bA^{\alpha}=x$ e $\log_bA=y$.

Pela definição, temos $b^x=A^{\alpha}$ e $b^y=A$

Dessa forma, $b^x=(b^y)^{\alpha}\Rightarrow b^{\alpha \cdot y}$

Assim, temos que $x=\alpha \cdot y$, logo:

$$\log_bA^{\alpha}=\alpha \cdot \log_bA$$

9) $\log_cA=\frac{\log_bA}{\log_bc}$

Seja $\log_cA=x$, $\log_bA=y$ e $\log_bc=z$.

Aplicando a definição, temos $c^x=A$, $b^y=A$ e $b^z=c$.

Temos, portanto:

$$c^x=b^y$$

Como $c=b^z$, podemos escrever:

$$(b^z)^x=b^{z\cdot x}=b^y\Rightarrow z\cdot x=y$$

Dessa forma, isolando $x$ temos:

$$x=\frac{y}{z}$$

Voltando à variáveis originais:
$$\log_cA=\frac{\log_bA}{\log_bc}$$

Até mais, e qualquer dúvida me contatem pelo facebook!