Demonstrações
Para um real entendimento sobre determinado tema, mais importante do que decorar certas fórmulas é entender o raciocínio utilizado para se chegar a essa expressão. Venho por meio dessa série de post's, demonstrar algumas fórmulas usadas na Matemática e Física.
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Demonstração da Lei dos Senos
Para a demonstração dessa importante Lei da Geometria Plana, tomemos o seguinte Triângulo:
Observem que o segmento $\overline {BD}$ divide o triângulo 2 triângulos retângulos.
O seno do ângulo $\alpha$, pode ser calculado usando a seguinte expressão:
$$\sin \alpha =\frac{\overline{BD}}{c}\Rightarrow \overline{BD}=\sin \alpha \cdot c$$
O seno de $\theta$ por sua vez, é dado por:
$$\sin \theta = \frac{\overline{BD}}{a}\Rightarrow \overline{BD}=\sin \theta \cdot a$$
Dessa maneira, temos:
$$\sin \alpha \cdot c = \sin \theta \cdot a \therefore \frac{a}{\sin \alpha}=\frac{c}{\sin \theta}$$
Usando o mesmo raciocínio, fazendo a construção da altura relativa a outro lado desse triângulo, é possível chegar na famosa Lei dos Senos:
$$\frac{a}{\sin \alpha}=\frac{b}{\sin \beta}=\frac{c}{\sin \theta}$$
Supondo ainda que esse triângulo esteja inscrito em uma circunferência de raio $r$, temos ainda que:
$$\frac{a}{\sin \alpha}=\frac{b}{\sin \beta}=\frac{c}{\sin \theta}=2r$$
Até mais, e qualquer dúvida me contatem pelo facebook!
Observem que o segmento $\overline {BD}$ divide o triângulo 2 triângulos retângulos.
O seno do ângulo $\alpha$, pode ser calculado usando a seguinte expressão:
$$\sin \alpha =\frac{\overline{BD}}{c}\Rightarrow \overline{BD}=\sin \alpha \cdot c$$
O seno de $\theta$ por sua vez, é dado por:
$$\sin \theta = \frac{\overline{BD}}{a}\Rightarrow \overline{BD}=\sin \theta \cdot a$$
Dessa maneira, temos:
$$\sin \alpha \cdot c = \sin \theta \cdot a \therefore \frac{a}{\sin \alpha}=\frac{c}{\sin \theta}$$
Usando o mesmo raciocínio, fazendo a construção da altura relativa a outro lado desse triângulo, é possível chegar na famosa Lei dos Senos:
$$\frac{a}{\sin \alpha}=\frac{b}{\sin \beta}=\frac{c}{\sin \theta}$$
Supondo ainda que esse triângulo esteja inscrito em uma circunferência de raio $r$, temos ainda que:
$$\frac{a}{\sin \alpha}=\frac{b}{\sin \beta}=\frac{c}{\sin \theta}=2r$$
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