Demonstração da Lei dos Cossenos

Demonstrações

Para um real entendimento sobre determinado tema, mais importante do que decorar certas fórmulas é entender o raciocínio utilizado para se chegar a essa expressão. Venho por meio dessa série de post's, demonstrar algumas fórmulas usadas na Matemática e Física.

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Demonstração da Lei dos Cossenos

Para a demonstração dessa importante Lei da Geometria Plana, tomemos o seguinte Triângulo, onde o lado $c$ foi dividido em 2 partes pelo segmento $\overline{CH}$, com um medindo $m$ e o outro $c-m$:

Analisando primeiramente o triângulo BCH. Aplicando Pitágoras temos:

$$a^2=h^2+(c-m)^2$$

Expandindo esse quadrado da diferença obtemos:
$$a^2=h^2+c^2-2cm+m^2$$

Ou ainda, rearranjando alguns termos:
$$a^2=(h^2+m^2)+c^2-2cm$$

Guardem essa equação pois iremos precisar dela.

No triângulo ACH, usando Pitágoras, temos:
$$b^2=h^2+m^2$$
E ainda:
$$\cos A=\frac{m}{b}\Rightarrow m=b\cdot \cos A$$

Lembram-se da primeira equação que separamos? Agora vamos substituir os dados que encontramos nela:
$$a^2=b^2+c^2-2bc\cdot \cos A$$
De forma idêntica, podemos obter as outras relações:
$$b^2=a^2+c^2-2ac\cdot \cos B$$
e 
$$c^2=a^2+b^2-2ab\cdot \cos C$$
Observe que quando o ângulo é reto (90 graus), temos $\cos 90=0$, restando apenas $a^2=b^2+c^2$, que é o Teorema de Pitágoras!

Em palavras, podemos escrever a Lei dos Cossenos como:
"Em um triângulo qualquer, o quadrado de um dos lados é igual à soma dos quadrados dos outros dois lados menos o dobro do produto desses lados pelo cosseno do ângulo entre eles".

Até mais, e qualquer dúvida me contatem pelo facebook!