Demonstração da Derivada da Inversa da Cossecante

Demonstrações

Para um real entendimento sobre determinado tema, mais importante do que decorar certas fórmulas é entender o raciocínio utilizado para se chegar a essa expressão. Venho por meio dessa série de post's, demonstrar algumas fórmulas usadas na Matemática e Física.

----------------------------------------------------------------------------------------

Demonstração da Derivada da Inversa da Cossecante

Seja a seguinte função:
$$f=\csc^{-1}(x)$$
Isso significa que:
$$\csc(y)=x$$
Derivando implicitamente em relação a $x$, temos:
$$-(\cot(y)\cdot \csc(y))\frac{dy}{dx}=1$$
Ou ainda:
$$\frac{dy}{dx}=-\frac{1}{\cot(y)\cdot \csc(y)}$$
Através da seguinte Relação,
$$1+\cot^2(y)=\csc^2(y) \Rightarrow \cot(y)=\sqrt{\csc^2(y)-1}$$
Sendo $\csc(y)=x$, temos:
Lembrando-se de que $\csc(y)=x$, temos:
$$(\csc(x)^{-1})'=\frac{dy}{dx}=-\frac{1}{x\sqrt{x^2-1}}$$
Que é a expressão da derivada da Inversa da Cossecante. 
Até mais, e qualquer dúvida me contatem pelo Facebook!