Demonstração da Derivada da Inversa da Tangente

Demonstrações

Para um real entendimento sobre determinado tema, mais importante do que decorar certas fórmulas é entender o raciocínio utilizado para se chegar a essa expressão. Venho por meio dessa série de post's, demonstrar algumas fórmulas usadas na Matemática e Física.

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Demonstração da Derivada da Inversa da Tangente

Seja a seguinte função:
$$f=\tan^{-1}(x)$$
Isso significa que:
$$\tan(y)=x$$
Derivando implicitamente em relação a $x$, temos:
$$\sec^2(y)\frac{dy}{dx}=1$$
Ou ainda:
$$\frac{dy}{dx}=\frac{1}{\sec^2(y)}$$
Através da seguinte Relação,
$$\sec^2(y)=1+\tan^2(y)$$
Temos:
$$\frac{dy}{dx}=\frac{1}{1+\tan^2(y)}$$
Lembrando-se de que $\tan(y)=x$, temos:
$$(\tan(x)^{-1})'=\frac{dy}{dx}=\frac{1}{1+x^2}$$
Que é a expressão da derivada da Inversa da Tangente. 
Até mais, e qualquer dúvida me contatem pelo Facebook!