Método de Eliminação de Gauss
Um dos métodos mais utilizados para a resolução de um sistema linear é o método de Gauss, que também nos fornece de maneira prática a inversa de uma matriz.
Consiste basicamente em escalonar a matriz aumentada do sistema aplicando operações elementares sobre as linhas da matriz, de forma a manter o conjunto solução do sistema inalterado.
A seguir são anunciadas as 3 operações elementares que utilizaremos no decorrer desse post.
As operações aplicadas foram:
1) $L_1\leftrightarrow L_3$;
2) $L_1\rightarrow -4 \cdot L_1$;
3) $L_2 \rightarrow L_2+(-2)\cdot L_3$.
São operações simples, porém se não for tomado o devido cuidado, um erro é fácil de se cometer.
1) O primeiro elemento não nulo de ma linha não nula é igual a 1;
2) Se o primeiro elemento não nulo de uma linha não nula ocorre na coluna $k$, então todos os outros elementos dessa coluna $k$ são iguais a 0;
3) As linhas nulas ocorrem abaixo das linhas não nulas;
4) Se as linhas não nulas de $M$ são as linhas $1,2,\cdots r$ e se o primeiro elemento não nulo da linha $i$ ocorre na coluna $k\cdot i$ então $k1<k2<\cdots <kr$
Para continuarmos, seguem algumas definições:
Para cada matriz $M$, existe uma única matriz $R_M$ que é LRE e é LINHA EQUIVALENTE a $M$, ou seja, após aplicarmos operações elementares sobre as linhas de $M$, obtemos uma matriz $R_M$ cujo conjunto solução é igual ao de $M$.
Dada uma matriz $M$, definimos $Posto(M)$ como o número de linhas não nulas de $R_M$.
Exemplo:
$$M=\left[ \begin{array}{c c} 2 & 1\\ 3 & 4 \\ \ 1 & 0\\1&1 \end{array}\right] \rightarrow (1)\rightarrow \left[ \begin{array}{c c} 1 & 0\\ 3 & 4 \\ \ 2 & 1\\1&1 \end{array}\right] \rightarrow (2) \rightarrow \left[ \begin{array}{c c} 1 &0\\ 0 & 4 \\ \ 2 & 1\\1&1 \end{array}\right] \rightarrow (3) \rightarrow \left[ \begin{array}{c c} 1 & 0\\ 0 & 4 \\ \ 0 & 1\\1&1 \end{array}\right] \rightarrow (4) \rightarrow \left[ \begin{array}{c c} 1 & 0\\ 0 & 4 \\ \ 0 & 1\\0&1 \end{array}\right] \rightarrow (5) \rightarrow \left[ \begin{array}{c c} 1 & 0\\ 0 & 1 \\ \ 0 & 1\\0&1 \end{array}\right] \rightarrow (6) \rightarrow \left[ \begin{array}{c c} 1 & 0\\ 0 & 1 \\ \ 0 & 0\\0&1 \end{array}\right] \rightarrow (7) \rightarrow \left[ \begin{array}{c c} 1 & 0\\ 0 & 1 \\ \ 0 & 0\\0&0 \end{array}\right]=R_M$$
O número de linhas não nulas de $R_M$ é 2, logo $Posto(R_M)=2$
(Observe que $R_M$ obedece a todas as 4 propriedades necessárias para ser considerada LRE).
As operações aplicadas foram:
1) $L_1 \leftrightarrow L_3$;
2) $L_2 \rightarrow L_2-3L_1$;
3) $L_3 \rightarrow L_3-2L_1$;
4) $L_4 \rightarrow L_4-L_1$;
5) $L_2 \rightarrow \frac{1}{4}L_2$;
6) $L_3 \rightarrow L_3-L_2$;
7) $L_4 \rightarrow L_4-L_2$.
Mas como podemos aplicar esses conhecimentos na resolução de sistemas lineares?
Veremos alguns exemplos de cada caso:
1)
$$\left\{ \begin{array}{c} x + 7z=10\\ y+2z=-6\\ 2x-7y=2\\ \end{array} \right.$$
Temos:
$$M_a=\left[ \begin{array}{cccc} 1 & 0 & 7 & -10\\ 0 & 1 & 2 & -6\\ 2 & -7 &0 & 2\\ \end{array} \right] \rightarrow (1)\rightarrow \left[ \begin{array}{cccc} 1 & 0 & 7 & -10\\ 0 & 1 & 2 & -6\\ 0 & -7 &-14 & 22\\ \end{array} \right] \rightarrow (2) \rightarrow \left[ \begin{array}{cccc} 1 & 0 & 7 & -10\\ 0 & 1 & 2 & -6\\ 0 & 0 &0 & -20\\ \end{array} \right] \rightarrow (3)\rightarrow \left[ \begin{array}{cccc} 1 & 0 & 7 & -10\\ 0 & 1 & 2 & -6\\ 0 & 0 &0 & 1\\ \end{array} \right] \rightarrow (4)\rightarrow \left[ \begin{array}{cccc} 1 & 0 & 7 & 0\\ 0 & 1 & 2 & -6\\ 0 & 0 &0 & 1\\ \end{array} \right]\rightarrow (5) \rightarrow \left[ \begin{array}{cccc} 1 & 0 & 7 & 0\\ 0 & 1 & 2 & 0\\ 0 & 0 &0 & 1\\ \end{array} \right]$$
Portanto $p=2$ e $q=3$. Logo $p \neq q \rightarrow S$ é indeterminado.
As operações aplicadas foram:
1) $L_3 \rightarrow L_3-2L_1$;
2) $L_3 \rightarrow L_3+7L_2$;
3) $L_3 \rightarrow -\frac{1}{20}L_3$;
4) $L_1 \rightarrow L_1+10L_3$;
5) $L_2 \rightarrow L_2+6L_3$.
2)
$$\left\{\begin{array}{c}x+y+z=4\\ 2x+5y-2z=3\\ \end{array} \right.$$
Temos:
$$M_a=\left[ \begin{array}{cccc} 1 & 1 & 1 & 4\\ 2 & 5 & -2 & 3\\ \end{array} \right] \rightarrow (1)\rightarrow \left[ \begin{array}{cccc} 1 & 1 & 1 & 4\\ 0 & 3 & -4 & -5\\ \end{array} \right]\rightarrow (2)\rightarrow \left[ \begin{array}{cccc} 1 & 1 & 1 & 4\\ 0 & 1 & -\frac{4}{3} & -\frac{5}{3}\\ \end{array} \right] \rightarrow (3)\rightarrow \left[ \begin{array}{cccc} 1 & 0 & \frac{7}{3} & \frac{17}{3}\\ 0 & 1 & -\frac{4}{3} & -\frac{5}{3}\\ \end{array} \right]$$
Portanto $p=2$ e $q=2$. Logo $p=q<n\rightarrow S$ possui $\infty$ soluções.
As operações aplicadas foram:
1) $L_2 \rightarrow L_2-2L_1$;
2) $L_2 \rightarrow \frac{1}{3}L_2$;
3) $L_1 \rightarrow L_1-L_2$.
3)
$$\left\{\begin{array}{c}3x+2y+z=8\\ 2x+y+z=5\\ x+y+z=6\\ \end{array} \right.$$
Temos:
$$M_a=\left[ \begin{array}{cccc} 3 & 2 & 1 & 8\\ 2 & 1 & 1 & 5\\ 1 & 1 &1 & 6\\ \end{array} \right]$$
Tente chegar em $x=-1$, $y=4$ e $z=3$. Caso não consiga, me contate via facebook.
Consiste basicamente em escalonar a matriz aumentada do sistema aplicando operações elementares sobre as linhas da matriz, de forma a manter o conjunto solução do sistema inalterado.
A seguir são anunciadas as 3 operações elementares que utilizaremos no decorrer desse post.
Operações Elementares
1) Trocar $L_i$ por $L_j$.
2) Substituir $L_i$ por $c \cdot L_i$, com $c \in R$, $c\neq 0$.
3) Substituir $L_i$ por $L_i+c \cdot L_i$, com $c \in R$.
Para exemplicar, tomemos a matriz $M$ abaixo, e aplicaremos as operações elementares:
$$M=\left[
\begin{array}{c c c}
2 & 1 & -3\\
4 & 0 & -1\\
\ 1 & 1 & 1\end{array}\right] \rightarrow (1)\rightarrow \left[ \begin{array}{c c c} 1 & 1 & 1\\ 4 & 0 & -1\\ \ 2 & 1 & -3\end{array}\right] \rightarrow (2) \rightarrow \left[ \begin{array}{c c c} -4 & -4 & -4\\ 4 & 0 & -1\\ \ 2 & 1 & -3\end{array}\right] \rightarrow (3) \rightarrow \left[ \begin{array}{c c c} -4 & -4 & -4\\ 0 & -2 & 5\\ \ 2 & 1 & -3\end{array}\right]$$
As operações aplicadas foram:
1) $L_1\leftrightarrow L_3$;
2) $L_1\rightarrow -4 \cdot L_1$;
3) $L_2 \rightarrow L_2+(-2)\cdot L_3$.
São operações simples, porém se não for tomado o devido cuidado, um erro é fácil de se cometer.
Redução à Forma Escada
Dizemos que uma matriz $M$ é LINHA REDUZIDA À FORMA ESCADA (LRE) se forem satisfeitas 4 condições.1) O primeiro elemento não nulo de ma linha não nula é igual a 1;
2) Se o primeiro elemento não nulo de uma linha não nula ocorre na coluna $k$, então todos os outros elementos dessa coluna $k$ são iguais a 0;
3) As linhas nulas ocorrem abaixo das linhas não nulas;
4) Se as linhas não nulas de $M$ são as linhas $1,2,\cdots r$ e se o primeiro elemento não nulo da linha $i$ ocorre na coluna $k\cdot i$ então $k1<k2<\cdots <kr$
Para continuarmos, seguem algumas definições:
Para cada matriz $M$, existe uma única matriz $R_M$ que é LRE e é LINHA EQUIVALENTE a $M$, ou seja, após aplicarmos operações elementares sobre as linhas de $M$, obtemos uma matriz $R_M$ cujo conjunto solução é igual ao de $M$.
Dada uma matriz $M$, definimos $Posto(M)$ como o número de linhas não nulas de $R_M$.
Exemplo:
$$M=\left[ \begin{array}{c c} 2 & 1\\ 3 & 4 \\ \ 1 & 0\\1&1 \end{array}\right] \rightarrow (1)\rightarrow \left[ \begin{array}{c c} 1 & 0\\ 3 & 4 \\ \ 2 & 1\\1&1 \end{array}\right] \rightarrow (2) \rightarrow \left[ \begin{array}{c c} 1 &0\\ 0 & 4 \\ \ 2 & 1\\1&1 \end{array}\right] \rightarrow (3) \rightarrow \left[ \begin{array}{c c} 1 & 0\\ 0 & 4 \\ \ 0 & 1\\1&1 \end{array}\right] \rightarrow (4) \rightarrow \left[ \begin{array}{c c} 1 & 0\\ 0 & 4 \\ \ 0 & 1\\0&1 \end{array}\right] \rightarrow (5) \rightarrow \left[ \begin{array}{c c} 1 & 0\\ 0 & 1 \\ \ 0 & 1\\0&1 \end{array}\right] \rightarrow (6) \rightarrow \left[ \begin{array}{c c} 1 & 0\\ 0 & 1 \\ \ 0 & 0\\0&1 \end{array}\right] \rightarrow (7) \rightarrow \left[ \begin{array}{c c} 1 & 0\\ 0 & 1 \\ \ 0 & 0\\0&0 \end{array}\right]=R_M$$
O número de linhas não nulas de $R_M$ é 2, logo $Posto(R_M)=2$
(Observe que $R_M$ obedece a todas as 4 propriedades necessárias para ser considerada LRE).
As operações aplicadas foram:
1) $L_1 \leftrightarrow L_3$;
2) $L_2 \rightarrow L_2-3L_1$;
3) $L_3 \rightarrow L_3-2L_1$;
4) $L_4 \rightarrow L_4-L_1$;
5) $L_2 \rightarrow \frac{1}{4}L_2$;
6) $L_3 \rightarrow L_3-L_2$;
7) $L_4 \rightarrow L_4-L_2$.
Mas como podemos aplicar esses conhecimentos na resolução de sistemas lineares?
Sistemas Lineares
Seja o seguinte seguinte sistema linear:
$$\left\{ \begin{array}{c}
a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \ldots + a_{1n}x_n=b_1\\
a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \ldots + a_{2n}x_n=b_2\\
\vdots \\
a_{n1}x_1 + a_{n2}x_2 + \ldots + a_{nn}x_n=b_n\\
\end{array}
\right.$$
A partir do sistema dado, podemos montar a matriz dos coeficientes $M_c$(números que acompanham a variável) e a matriz aumentada do sistema $M_a$, que contém os coeficientes e os resultados de cada equação.
Temos:
$$M_c=\left[
\begin{array}{cccc}
a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1n}\\
a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2n}\\
\vdots & \vdots & & \vdots\\
a_{m1} & a_{m2} & \ldots & a_{mn}\\
\end{array}
\right]_{m \times n}$$
$$M_a=\left[ \begin{array}{ccccc} a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1n}& b_1\\ a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2n}&b_2\\ \vdots & \vdots & & \vdots\\ a_{m1} & a_{m2} & \ldots & a_{mn}&b_n\\ \end{array} \right]_{m \times n}$$
Teorema de Rouché-Capelli
Seja $S$ um sistema linear com $m$ equações e $n$ incógnitas.
Seja $M_a$ a matriz ampliada do sistema, e $M_c$ a matriz dos coeficientes.
Seja $p=Posto(M_c)$ e $q=Posto(M_a)$. Então:
1) $p\neq q \rightarrow$ O sistema $s$ é IMPOSSÍVEL (Não possui solução);
2) $p=q=n \rightarrow$ O sistema $s$ é POSSÍVEL DETERMINADO (Possui 1 solução);
3) $p=q<n \rightarrow$ O sistema $s$ é POSSÍVEL INDETERMINADO ($\infty$ soluções).
Veremos alguns exemplos de cada caso:
1)
$$\left\{ \begin{array}{c} x + 7z=10\\ y+2z=-6\\ 2x-7y=2\\ \end{array} \right.$$
Temos:
$$M_a=\left[ \begin{array}{cccc} 1 & 0 & 7 & -10\\ 0 & 1 & 2 & -6\\ 2 & -7 &0 & 2\\ \end{array} \right] \rightarrow (1)\rightarrow \left[ \begin{array}{cccc} 1 & 0 & 7 & -10\\ 0 & 1 & 2 & -6\\ 0 & -7 &-14 & 22\\ \end{array} \right] \rightarrow (2) \rightarrow \left[ \begin{array}{cccc} 1 & 0 & 7 & -10\\ 0 & 1 & 2 & -6\\ 0 & 0 &0 & -20\\ \end{array} \right] \rightarrow (3)\rightarrow \left[ \begin{array}{cccc} 1 & 0 & 7 & -10\\ 0 & 1 & 2 & -6\\ 0 & 0 &0 & 1\\ \end{array} \right] \rightarrow (4)\rightarrow \left[ \begin{array}{cccc} 1 & 0 & 7 & 0\\ 0 & 1 & 2 & -6\\ 0 & 0 &0 & 1\\ \end{array} \right]\rightarrow (5) \rightarrow \left[ \begin{array}{cccc} 1 & 0 & 7 & 0\\ 0 & 1 & 2 & 0\\ 0 & 0 &0 & 1\\ \end{array} \right]$$
Portanto $p=2$ e $q=3$. Logo $p \neq q \rightarrow S$ é indeterminado.
As operações aplicadas foram:
1) $L_3 \rightarrow L_3-2L_1$;
2) $L_3 \rightarrow L_3+7L_2$;
3) $L_3 \rightarrow -\frac{1}{20}L_3$;
4) $L_1 \rightarrow L_1+10L_3$;
5) $L_2 \rightarrow L_2+6L_3$.
2)
$$\left\{\begin{array}{c}x+y+z=4\\ 2x+5y-2z=3\\ \end{array} \right.$$
Temos:
$$M_a=\left[ \begin{array}{cccc} 1 & 1 & 1 & 4\\ 2 & 5 & -2 & 3\\ \end{array} \right] \rightarrow (1)\rightarrow \left[ \begin{array}{cccc} 1 & 1 & 1 & 4\\ 0 & 3 & -4 & -5\\ \end{array} \right]\rightarrow (2)\rightarrow \left[ \begin{array}{cccc} 1 & 1 & 1 & 4\\ 0 & 1 & -\frac{4}{3} & -\frac{5}{3}\\ \end{array} \right] \rightarrow (3)\rightarrow \left[ \begin{array}{cccc} 1 & 0 & \frac{7}{3} & \frac{17}{3}\\ 0 & 1 & -\frac{4}{3} & -\frac{5}{3}\\ \end{array} \right]$$
Portanto $p=2$ e $q=2$. Logo $p=q<n\rightarrow S$ possui $\infty$ soluções.
As operações aplicadas foram:
1) $L_2 \rightarrow L_2-2L_1$;
2) $L_2 \rightarrow \frac{1}{3}L_2$;
3) $L_1 \rightarrow L_1-L_2$.
3)
$$\left\{\begin{array}{c}3x+2y+z=8\\ 2x+y+z=5\\ x+y+z=6\\ \end{array} \right.$$
Temos:
$$M_a=\left[ \begin{array}{cccc} 3 & 2 & 1 & 8\\ 2 & 1 & 1 & 5\\ 1 & 1 &1 & 6\\ \end{array} \right]$$
Matriz Inversa
Como disse no início do post, através do escalonamento LRE temos uma poderosa ferramenta para calcular a inversa de uma matriz $M$. Vejamos:
Sendo $A$ a seguinte matriz:
$$A=\left[ \begin{array}{c c} 1 & 3\\ 0 & -1\\ \end{array}\right] $$
Precisamos aplicar Operações Elementares na matriz $A$ afim de transformá-la na matriz Identidade. Temos:
$$A=\left[ \begin{array}{c c} 1 & 3\\ 0 & -1\\ \end{array}\right] \rightarrow (1) \rightarrow \left[ \begin{array}{c c} 1 & 3\\ 0 & 1\\ \end{array}\right] \rightarrow (2) \rightarrow \left[ \begin{array}{c c} 1 & 0\\ 0 & 1\\ \end{array}\right]$$
As operações aplicadas foram:
1) $L_2\leftrightarrow -L_2$;
2) $L_1\rightarrow L_1-3 \cdot L_2$.
Agora, devemos aplicar AS MESMAS operações elementares na matriz identidade obtida. Como resultado, teremos a inversa de $A$.
$$\left[ \begin{array}{c c} 1 & 0\\ 0 & 1\\ \end{array}\right] \rightarrow (1) \rightarrow \left[ \begin{array}{c c} 1 & 0\\ 0 & -1\\ \end{array}\right] \rightarrow (2)\rightarrow \left[ \begin{array}{c c} 1 & 3\\ 0 & -1\\ \end{array}\right]=A^{-1}$$
Para conferir se fizemos tudo corretamente, devemos nos lembrar de que $A\cdot A^{-1}=I_n$. (Nesse caso $A=A^{-1}$, mas nem sempre isso ocorre.)
Enfim pessoal, espero que esse post os ajudem a entender esses métodos. Lembrando que se houver qualquer dúvida, me contate pelo facebook!
1) $L_2\leftrightarrow -L_2$;
2) $L_1\rightarrow L_1-3 \cdot L_2$.
Agora, devemos aplicar AS MESMAS operações elementares na matriz identidade obtida. Como resultado, teremos a inversa de $A$.
$$\left[ \begin{array}{c c} 1 & 0\\ 0 & 1\\ \end{array}\right] \rightarrow (1) \rightarrow \left[ \begin{array}{c c} 1 & 0\\ 0 & -1\\ \end{array}\right] \rightarrow (2)\rightarrow \left[ \begin{array}{c c} 1 & 3\\ 0 & -1\\ \end{array}\right]=A^{-1}$$
Para conferir se fizemos tudo corretamente, devemos nos lembrar de que $A\cdot A^{-1}=I_n$. (Nesse caso $A=A^{-1}$, mas nem sempre isso ocorre.)
Enfim pessoal, espero que esse post os ajudem a entender esses métodos. Lembrando que se houver qualquer dúvida, me contate pelo facebook!