Demonstrações
Para um real entendimento sobre determinado tema, mais importante do que decorar certas fórmulas é entender o raciocínio utilizado para se chegar a essa expressão. Venho por meio dessa série de post's, demonstrar algumas fórmulas usadas na Matemática e Física.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Demonstração da Derivada de um Quociente
Seja $\displaystyle f(x)=\frac{u(x)}{v(x)}$ .
Isolando $u(x)$, temos:
$$u(x)=f(x)\cdot v(x)$$
Aplicando a Regra do Produto (Demonstrada AQUI) temos:
$$u'(x)=f'(x)\cdot v(x)+f(x)\cdot v'(x)$$
Substituindo $f(x)$ nessa expressão, obtemos:
$$u'(x)=f'(x)\cdot v(x)+\frac{u(x)}{v(x)}\cdot v'(x)$$
Fazendo o mmc, afim de termos um só denominador, temos:
$$u'(x)=\frac{f'(x)\cdot v(x)\cdot v(x)+v'(x)\cdot u(x)}{v(x)}\Rightarrow u'(x)\cdot v(x)=f'(x)\cdot v^2(x)+v'(x)\cdot u(x)$$
Isolando $f'(x)$, tem-se:
$$f'(x)=\frac{u'(x)\cdot v(x)-u(x)\cdot v'(x)}{v^2(x)}$$
Que é a Regra da Derivada do Quociente.
Até mais, e qualquer dúvida me contatem pelo facebook!