Demonstrações
Para um real entendimento sobre determinado tema, mais importante do que decorar certas fórmulas é entender o raciocínio utilizado para se chegar a essa expressão. Venho por meio dessa série de post's, demonstrar algumas fórmulas usadas na Matemática e Física.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Demonstração da Derivada de um Quociente
Seja \displaystyle f(x)=\frac{u(x)}{v(x)} .
Isolando u(x), temos:
u(x)=f(x)\cdot v(x)
Aplicando a Regra do Produto (Demonstrada AQUI) temos:
u'(x)=f'(x)\cdot v(x)+f(x)\cdot v'(x)
Substituindo f(x) nessa expressão, obtemos:
u'(x)=f'(x)\cdot v(x)+\frac{u(x)}{v(x)}\cdot v'(x)
Fazendo o mmc, afim de termos um só denominador, temos:
u'(x)=\frac{f'(x)\cdot v(x)\cdot v(x)+v'(x)\cdot u(x)}{v(x)}\Rightarrow u'(x)\cdot v(x)=f'(x)\cdot v^2(x)+v'(x)\cdot u(x)
Isolando f'(x), tem-se:
f'(x)=\frac{u'(x)\cdot v(x)-u(x)\cdot v'(x)}{v^2(x)}
Que é a Regra da Derivada do Quociente.
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