Demonstrações
Para um real entendimento sobre determinado tema, mais importante do que decorar certas fórmulas é entender o raciocínio utilizado para se chegar a essa expressão. Venho por meio dessa série de post's, demonstrar algumas fórmulas usadas na Matemática e Física.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Demonstração da Derivada de um Produto
Seja f(x)=u(x)\cdot v(x) .
A derivada de uma função é dada pelo limite:
f'(x)=\frac{df}{dx}=\lim_{h\to 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}
Substituindo temos:
f'(x)=\lim_{h\to 0}\frac{u(x+h)\cdot v(x+h)-u(x)\cdot v(x)}{h}
Em uma equação, podemos somar termos desde que a equivalência se permaneça.
Por conveniência, somaremos e subtrairemos u(x+h)\cdot v(x).
Temos:
f'(x)=\lim_{h\to 0}\frac{u(x+h)\cdot v(x+h)-u(x)\cdot v(x)-u(x+h)\cdot v(x)+u(x+h)\cdot v(x)}{h}
Rearranjando essa expressão, agrupando termos semelhantes, obtemos:
f'(x)=\lim_{h\to 0}\frac{u(x+h)[v(x+h)-v(x)]+v(x)[u(x+h)-u(x)]}{h}
Uma das propriedades de limites nos diz que o limite da soma é a soma dos limites. Com isso temos:
f'(x)=\lim_{h\to 0}\frac{u(x+h)[v(x+h)-v(x)]}{h}+\lim_{h\to 0}\frac{v(x)[u(x+h)-u(x)]}{h}
Podemos destacar que:
u'(x)=\lim_{h\to 0}\frac{u(x+h)-u(x)}{h}
v'(x)=\lim_{h\to 0}\frac{v(x+h)-v(x)}{h}
Portanto podemos reescrever nossa expressão como:
f'(x)=u'(x)\cdot v(x)+u(x)\cdot v'(x)
Que é a Regra da Derivada do Produto.
Até mais, e qualquer dúvida me contatem pelo facebook!
