Demonstrações
Para um real entendimento sobre determinado tema, mais importante do que decorar certas fórmulas é entender o raciocínio utilizado para se chegar a essa expressão. Venho por meio dessa série de post's, demonstrar algumas fórmulas usadas na Matemática e Física.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Demonstração da Derivada da Função Potência
Antes de aplicarmos a definição, devemos relembrar sobre produtos notáveis.
Vamos tentar encontrar um padrão no desenvolvimento de (a+b)^n:
(a+b)^1=a+b
(a+b)^2=a^2+2ab+b^2
(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3
(a+b)^4=a^4+4a^3b+6a^2b^2+4ab^3+b^4
(a+b)^5=a^5+5a^4b+10a^3b^2+10a^2b^3+5ab^4+b^5
(a+b)^n=\binom{n}{0}a^n+\binom{n}{1}a^{n-1}\cdot b+\binom{n}{2}a^{n-2}\cdot b^2+\cdots+\binom{n}{n}b^{n}
Seja f(x)=x^n uma função potência.
A derivada de uma função é dada pelo limite:
f'(x)=\frac{df}{dx}=\lim_{h\to 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}
Substituindo temos:
f'(x)=\lim_{h\to 0}\frac{x^n+n\cdot x^{n-1}\cdot h+\binom{n}{2}x^{n-2}\cdot h^2+\cdots+\binom{n}{n}h^{n}-x^n}{h}
Colocando h em evidência e eliminando x^n temos:
f'(x)=\lim_{h\to 0}n\cdot x^{n-1}+\binom{n}{2}x^{n-2}\cdot h+\binom{n}{n}h^{n-1}
Como h tende a 0 temos:
f'(x)=n\cdot x^{n-1}
Como queríamos demonstrar.
Até mais, e qualquer dúvida me contatem pelo facebook!
Vamos tentar encontrar um padrão no desenvolvimento de (a+b)^n:
(a+b)^1=a+b
(a+b)^2=a^2+2ab+b^2
(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3
(a+b)^4=a^4+4a^3b+6a^2b^2+4ab^3+b^4
(a+b)^5=a^5+5a^4b+10a^3b^2+10a^2b^3+5ab^4+b^5
(a+b)^n=\binom{n}{0}a^n+\binom{n}{1}a^{n-1}\cdot b+\binom{n}{2}a^{n-2}\cdot b^2+\cdots+\binom{n}{n}b^{n}
Seja f(x)=x^n uma função potência.
A derivada de uma função é dada pelo limite:
f'(x)=\frac{df}{dx}=\lim_{h\to 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}
Substituindo temos:
f'(x)=\lim_{h\to 0}\frac{x^n+n\cdot x^{n-1}\cdot h+\binom{n}{2}x^{n-2}\cdot h^2+\cdots+\binom{n}{n}h^{n}-x^n}{h}
Colocando h em evidência e eliminando x^n temos:
f'(x)=\lim_{h\to 0}n\cdot x^{n-1}+\binom{n}{2}x^{n-2}\cdot h+\binom{n}{n}h^{n-1}
Como h tende a 0 temos:
f'(x)=n\cdot x^{n-1}
Até mais, e qualquer dúvida me contatem pelo facebook!
