Trabalho de uma Força
Consideremos um corpo sendo arrastado sobre uma mesa horizontal, submetido à ação de uma força $\vec {F}$.
Suponha que a força $\vec{F}$ seja constante e que o corpo se desloque de uma distância $d$. Sendo $\theta$ o ângulo entre $\vec{F}$ e a direção do deslocamento do corpo, define-se o trabalho, $T$, realizado pela força $\vec{F}$ da seguinte maneira:
$$T=F\cdot d \cdot \cos \theta$$
Analisando a figura acima, vemos facilmente que $F\cdot \cos \theta$ representa o módulo da componente da força $\vec{F}$ na direção do deslocamento $d$, que vamos designar por $\vec{F_d}$.
Destacando, temos:
"Quando uma força $\vec{F}$ atua sobre um objeto em movimento em direção inclinada em relação ao seu deslocamento $d$, apenas a componente da força paralela ao deslocamento, $\vec{F_d}$, realiza trabalho sobre o objeto. O valor deste trabalho é dado por $T=F\cdot d \cdot \cos \theta$ ou $T=F_d \cdot d$ ".
A unidade adotada é o $N\cdot m=J$.
Onde $J$ é a unidade Joule.
Suponha que a força $\vec{F}$ seja constante e que o corpo se desloque de uma distância $d$. Sendo $\theta$ o ângulo entre $\vec{F}$ e a direção do deslocamento do corpo, define-se o trabalho, $T$, realizado pela força $\vec{F}$ da seguinte maneira:
$$T=F\cdot d \cdot \cos \theta$$
Analisando a figura acima, vemos facilmente que $F\cdot \cos \theta$ representa o módulo da componente da força $\vec{F}$ na direção do deslocamento $d$, que vamos designar por $\vec{F_d}$.
Destacando, temos:
"Quando uma força $\vec{F}$ atua sobre um objeto em movimento em direção inclinada em relação ao seu deslocamento $d$, apenas a componente da força paralela ao deslocamento, $\vec{F_d}$, realiza trabalho sobre o objeto. O valor deste trabalho é dado por $T=F\cdot d \cdot \cos \theta$ ou $T=F_d \cdot d$ ".
A unidade adotada é o $N\cdot m=J$.
Onde $J$ é a unidade Joule.
Potência
Como vimos, para se calcular o trabalho de uma força, não é necessário conhecer o tempo decorrido na realização desse trabalho. Na vida prática, porém, o conhecimento desse tempo pode ser importante pois, de maneira geral, temos interesse em que um determinado trabalho seja realizado no menor tempo possível. Entre duas máquinas que realizem o mesmo trabalho, com a mesma perfeição, preferimos sempre a mais rápida.
Para medir a rapidez com que se realiza certo trabalho, define-se uma grandeza chamada potência:
$$P=\frac{\Delta T}{\Delta t}$$
Vemos, então, pela definição dada, que quanto menor for o tempo empregado por uma máquina para realizar um certo trabalho maior será sua potência.
A unidade adotada é:
$$\frac{J}{s}=W$$
Onde $W$ é a unidade Watts.
Trabalho e Energia Cinética
A energia é um dos conceitos mais importantes da Física.
Costumamos introduzir o conceito dizendo que "a energia representa a capacidade de realizar trabalho". A creditamos que isso constitui, pelo menos, um modo de começar o estudo de energia.
Como a energia pode ser relacionada com trabalho, ela é também uma grandeza escalar. Consequentemente a energia é medida com a mesma unidade utilizada para se medir o trabalho, o Joule.
Mas o que é energia cinética? Consideremos um bloco em movimento aproximando-se uma mola:
Ao colidir com a mola, a velocidade do bloco vai diminuindo, até se anular, enquanto a mola vai sendo comprimida:
Portanto, o bloco em movimento foi capaz de realizar o trabalho de comprimir a mola.
Vemos, então, que qualquer corpo em movimento tem capacidade de realizar trabalho e, portanto, um corpo em movimento possui energia. Esta energia é denominada Energia Cinética, e é representada por $E_c$.
É fácil perceber que quanto maior for a velocidade do bloco da figura acima, maior será a compressão da mola, isto é, maior será o trabalho realizado pelo bloco e, portanto, maior será sua energia cinética. Não é difícil perceber, também, que a compressão da mola seria tanto maior quanto maior fosse a massa do bloco, isto é, a energia cinética do bloco também depende de sua massa. De um modo geral, temos:
$$E_c=\frac{mv^2}{2}$$
Relação entre Trabalho e Energia Cinética
Na figura abaixo, representamos um corpo, de massa $m$, passando por um ponto A, com velocidade $v_A$. Considere várias forças atuando sobre o corpo e seja $\vec{R}$ a resultante dessas forças. Vamos supor que $\vec{R}$ seja constante e que seu sentido seja o mesmo do movimento do corpo. Sendo assim, o corpo irá adquirir um movimento retilíneo, uniformemente acelerado e, após percorrer uma distância $d$, chegará em B com uma velocidade $v_B$, maior que $v_A$.
Procuremos calcular o trabalho total, $T_{AB}$, realizado pelo corpo, desde A até B. Este trabalho é dado pelo trabalho da força resultante. Como a força $\vec {R}$ atua no sentido do movimento $(\theta=0)$ e desloca o corpo de uma distância $d$, teremos:
$$T_{AB}=R \cdot d$$
Sabemos, pela 2° Lei de Newton, que $R=m\cdot a$. Além disso, como o movimento é uniformemente acelerado, podemos relacionar $v_A$, $v_B$, $a$ e $d$. Temos:
$$v_B^2=v_A^2+2 \cdot a \cdot d \rightarrow d=\frac{v_B^2-v_A^2}{2a}$$
Substituindo em $T_{AB}=R \cdot d$, temos:
$$T_{AB}=m \cdot a \cdot \frac{v_B^2-v_A^2}{2a} \rightarrow T_{AB}=\frac{mv_B^2}{2}-\frac{mv_A^2}{2}$$
Procuremos calcular o trabalho total, $T_{AB}$, realizado pelo corpo, desde A até B. Este trabalho é dado pelo trabalho da força resultante. Como a força $\vec {R}$ atua no sentido do movimento $(\theta=0)$ e desloca o corpo de uma distância $d$, teremos:
$$T_{AB}=R \cdot d$$
Sabemos, pela 2° Lei de Newton, que $R=m\cdot a$. Além disso, como o movimento é uniformemente acelerado, podemos relacionar $v_A$, $v_B$, $a$ e $d$. Temos:
$$v_B^2=v_A^2+2 \cdot a \cdot d \rightarrow d=\frac{v_B^2-v_A^2}{2a}$$
Substituindo em $T_{AB}=R \cdot d$, temos:
$$T_{AB}=m \cdot a \cdot \frac{v_B^2-v_A^2}{2a} \rightarrow T_{AB}=\frac{mv_B^2}{2}-\frac{mv_A^2}{2}$$
$$T_{AB}=Ec_B-Ec_A$$
Energia Potencial Gravitacional
Um corpo de massa $m$ está situado a uma altura $h$ em relação a um nível horizontal de referência.
A energia potencial gravitacional que ele possui, nesta posição, pode ser calculada pelo trabalho que o peso deste corpo realiza, sobre ele, quando cai, desde aquela posição até o nível de referência. Evidentemente, sendo $mg$ a força que atua sobre o corpo e sendo $h$ o seu deslocamento, o trabalho mencionado será:
$$T=m\cdot g \cdot h$$
A energia potencial gravitacional que ele possui, nesta posição, pode ser calculada pelo trabalho que o peso deste corpo realiza, sobre ele, quando cai, desde aquela posição até o nível de referência. Evidentemente, sendo $mg$ a força que atua sobre o corpo e sendo $h$ o seu deslocamento, o trabalho mencionado será:
$$T=m\cdot g \cdot h$$
Relação entre Trabalho e $Ep_G$
Consideremos um corpo, de massa $m$, inicialmente no ponto A, a uma altura $h_A$ acima de um nível de referência.
Quando este corpo se desloca, verticalmente, de A para outro ponto B qualquer, o seu peso realiza um trabalho $T_{AB}$. Durante este deslocamento poderão atuar sobre o corpo outras forças, além do seu peso. Entretanto, vamos calcular apenas o trabalho realizado pelo peso do corpo. Como o corpo se desloca de uma distância $h_A-h_B$, o seu peso realiza um trabalho:
$$T_{AB}=mg \cdot (h_A-h_B) \rightarrow T_{AB}=mg \cdot h_A-mg\cdot h_B$$
$$T_{AB}=mg \cdot (h_A-h_B) \rightarrow T_{AB}=mg \cdot h_A-mg\cdot h_B$$
Podemos concluir que:
$$T_{AB}=Ep_A-Ep_B$$
$$T_{AB}=Ep_A-Ep_B$$
Energia Potencial Elástica
Consideremos uma mola cuja constante elástica é $k$, apresentando uma deformação $x$ e um corpo ligado a ela, como mostra a figura:
A $E_P$ elástica deste corpo, nesta posição, pode ser determinada pelo trabalho que a mola realiza sobre ele, ao empurrá-lo até a posição normal da mola, isto é, a posição em que ela não apresenta deformação.
À medida que o corpo é empurrado, a deformação da mola diminui e, consequentemente, diminui também a força que a mola exerce sobre o corpo. Assim, devemos calcular o trabalho de uma força que varia enquanto o corpo se desloca. O cálculo deste trabalho não pode, então, ser feito pela expressão $T=F \cdot d \cdot \cos \theta$, a qual se aplica apenas nos casos onde $F$ é constante.
Quando a força $F$ é variável, o trabalho que ela realiza pode ser obtido, numericamente, pela área sob o gráfico Fxd. Portanto, em nosso caso, o trabalho realizado pela mola será dado pela área sob o seguinte gráfico:
Como vemos, trata-se da área de um triângulo, de base igual a $x$ e altura $kx$. Portanto, temos:
$$T=\frac{1}{2}x\cdot kx \rightarrow T=\frac{kx^2}{2}$$
Relação entre Trabalho e $Ep_E$
Suponhamos uma mola comprimida, cuja constante elástica seja $k$, empurrando um corpo nela encostado. Procuremos calcular o trabalho $T_{AB}$ que a mola realiza sobre o corpo, ao deslocá-lo de A até B. Já sabemos que esta força é variável e que o seu trabalho será dado pela área sob o gráfico Fxd, desde A até B.
Teremos:
$$T_{AB}=ÁREA_{ABCD}=ÁREA_{OAD}-ÁREA_{OBC}$$
Ou:
$$\frac{1}{2}kx_A^2-\frac{1}{2}kx_B^2 \rightarrow T_{AB}=Ep_A-Ep_B$$
Teremos:
$$T_{AB}=ÁREA_{ABCD}=ÁREA_{OAD}-ÁREA_{OBC}$$
Ou:
$$\frac{1}{2}kx_A^2-\frac{1}{2}kx_B^2 \rightarrow T_{AB}=Ep_A-Ep_B$$