Demonstrações
Para um real entendimento sobre determinado tema, mais importante do que decorar certas fórmulas é entender o raciocínio utilizado para se chegar a essa expressão. Venho por meio dessa série de post's, demonstrar algumas fórmulas usadas na Matemática e Física.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Volume da Pirâmide
Vamos considerar um caso particular de pirâmide: o cone.
Considere a área sombreada sob a curva $f(x)=ax$:
Podemos notar que a figura formada é um triângulo retângulo com um dos vértices na origem. Se rotacionarmos $360$ graus em torno do eixo $x$, observamos que a figura formada é um cone com vértice na origem:
Para encontrarmos o volume desse cone, vamos supor fatias paralelas ao eixo $y$ com larguras infinitesimais $dx$ e raio $y$:
O volume do cilindro é dado por:
$$V_c=A_b \cdot h$$
$$V_c=A_b \cdot h$$
$$V_c=\pi \cdot r^2\cdot h$$
Como o raio do cilindro de altura infinitesimal é igual a $y$ e sua altura é igual a $dx$, podemos reescrever:
$$V_c=\pi \cdot y^2\cdot dx$$
Podemos dizer que o cone é formado infinitos cilindros, e que a soma de todos os cilindros, é a seguinte integral definida:
$$V_c= \int_{x_0}^{x_1} \pi \cdot y^2\cdot dx$$
Retirando a constante $\pi$ da integral, temos:
$$V_c=\pi \cdot \int_{x_0}^{x_1} y^2\cdot dx$$
Isso equivale dizer:
$$V_c=\pi \cdot \int_{x_0}^{x_1} [f(x)]^2\cdot dx$$
Sabemos que $f(x)=ax$, logo:
$$V_c=\pi \cdot \int_{x_0}^{x_1} a^2x^2\cdot dx$$
Integrando em relação à $x$, obtemos:
$$V_c= \pi \cdot [\frac{a^2x^3}{3}]$$
Avaliando no intervalo $[x_0,x_1]$, temos:
$$V_c=\pi [\frac{a^2x_1^3}{3}-\frac{a^2x_0^3}{3}]$$
Como $x_0=0$, temos:
$$V_c=\frac{\pi}{3}[a^2x_1^3]$$
Em contrapartida, temos que:
$$f(x)=ax$$
$$y_1=ax_1 \rightarrow a=\frac{y_1}{x_1}$$
Substituindo $a$ na sentença anterior obtemos:
$$V_c=\frac{\pi}{3}[(\frac{y_1}{x_1})^2x_1^3]$$
Simplificando:
$$V_c=\frac{\pi}{3}[y_1^2\cdot x_1]$$
Mas $y_1$ é o raio da base do cone e $x_1$ é sua altura. Logo podemos reescrever:
$$V_c=\frac{\pi}{3}[r^2\cdot h]$$
Se a área da base é:
$$A_b=\pi\cdot r^2$$
Temos, finalmente, a famosa fórmula para o cálculo do volume de uma pirâmide:
$$V=\frac{1}{3}[A_b \cdot h]$$
Em contrapartida, temos que:
$$f(x)=ax$$
$$y_1=ax_1 \rightarrow a=\frac{y_1}{x_1}$$
Substituindo $a$ na sentença anterior obtemos:
$$V_c=\frac{\pi}{3}[(\frac{y_1}{x_1})^2x_1^3]$$
Simplificando:
$$V_c=\frac{\pi}{3}[y_1^2\cdot x_1]$$
Mas $y_1$ é o raio da base do cone e $x_1$ é sua altura. Logo podemos reescrever:
$$V_c=\frac{\pi}{3}[r^2\cdot h]$$
Se a área da base é:
$$A_b=\pi\cdot r^2$$
Temos, finalmente, a famosa fórmula para o cálculo do volume de uma pirâmide:
$$V=\frac{1}{3}[A_b \cdot h]$$