Volume da Pirâmide

Demonstrações

Para um real entendimento sobre determinado tema, mais importante do que decorar certas fórmulas é entender o raciocínio utilizado para se chegar a essa expressão. Venho por meio dessa série de post's, demonstrar algumas fórmulas usadas na Matemática e Física.

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Volume da Pirâmide

Vamos considerar um caso particular de pirâmide: o cone.

Considere a área sombreada sob a curva $f(x)=ax$:

Podemos notar que a figura formada é um triângulo retângulo com um dos vértices na origem. Se rotacionarmos $360$ graus em torno do eixo $x$, observamos que a figura formada é um cone com vértice na origem:

Para encontrarmos o volume desse cone, vamos supor fatias paralelas ao eixo $y$ com larguras infinitesimais $dx$ e raio $y$:

O volume do cilindro é dado por:
$$V_c=A_b \cdot h$$

$$V_c=\pi \cdot r^2\cdot h$$

Como o raio do cilindro de altura infinitesimal é igual a $y$ e sua altura é igual a $dx$, podemos reescrever:

$$V_c=\pi \cdot y^2\cdot dx$$

Podemos dizer que o cone é formado infinitos cilindros, e que a soma de todos os cilindros, é a seguinte integral definida:

$$V_c= \int_{x_0}^{x_1} \pi \cdot y^2\cdot dx$$

Retirando a constante $\pi$ da integral, temos:

$$V_c=\pi \cdot  \int_{x_0}^{x_1}  y^2\cdot dx$$

Isso equivale dizer:

$$V_c=\pi \cdot  \int_{x_0}^{x_1}  [f(x)]^2\cdot dx$$

Sabemos que $f(x)=ax$, logo:

$$V_c=\pi \cdot  \int_{x_0}^{x_1}  a^2x^2\cdot dx$$

Integrando em relação à $x$, obtemos:

$$V_c= \pi \cdot [\frac{a^2x^3}{3}]$$

Avaliando no intervalo $[x_0,x_1]$, temos:

$$V_c=\pi [\frac{a^2x_1^3}{3}-\frac{a^2x_0^3}{3}]$$

Como $x_0=0$, temos:

$$V_c=\frac{\pi}{3}[a^2x_1^3]$$

Em contrapartida, temos que:

$$f(x)=ax$$
$$y_1=ax_1 \rightarrow a=\frac{y_1}{x_1}$$

Substituindo $a$ na sentença anterior obtemos:

$$V_c=\frac{\pi}{3}[(\frac{y_1}{x_1})^2x_1^3]$$

Simplificando:

$$V_c=\frac{\pi}{3}[y_1^2\cdot x_1]$$

Mas $y_1$ é o raio da base do cone e $x_1$ é sua altura. Logo podemos reescrever:

$$V_c=\frac{\pi}{3}[r^2\cdot h]$$

Se a área da base é:

$$A_b=\pi\cdot r^2$$

Temos, finalmente, a famosa fórmula para o cálculo do volume de uma pirâmide:

$$V=\frac{1}{3}[A_b \cdot h]$$