Demonstrações
Para um real entendimento sobre determinado tema, mais importante do que decorar certas fórmulas é entender o raciocínio utilizado para se chegar a essa expressão. Venho por meio dessa série de post's, demonstrar algumas fórmulas usadas na Matemática e Física.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------3° Lei de Kepler - Lei dos Períodos
Sabemos que as órbitas dos planetas são elípticas, porém, para a dedução da Terceira Lei de Kepler, vamos considerar uma órbita circular. Apesar da demonstração a seguir ser feita tomando como base órbitas circulares, os resultados também valem para órbitas elípticas.
Na figura abaixo, considere um corpo de massa $m$ orbitando a uma distância $R$ de um corpo de massa $M$:
Observe que o corpo de massa $m$ sobre a influência da $F_{cp}$, que é igual à força gravitacional entre 2 corpos. Portanto, podemos escrever:
$$F_{cp}=F_G \rightarrow \frac{mv^2}{R}= \frac{GMm}{R^2}$$
Fazendo as devidas simplificações, obtemos:
$$v^2= \frac{GM}{R}$$
Sabemos que a velocidade é a variação de espaço dividida pela variação de tempo, que o espaço percorrido é o comprimento de um círculo, e que o tempo gasto por 1 volta é o período, logo, temos:
$$v=\frac{\Delta S}{\Delta t}=\frac{2 \cdot \pi \cdot R }{T}$$
Assim, podemos escrever:
$$v^2= \frac{GM}{R} \rightarrow (\frac{2 \cdot \pi \cdot R }{T})^2=\frac{GM}{R} \rightarrow \frac{4 \cdot \pi^2 \cdot R^2}{T^2}=\frac{GM}{R}$$
O próximo passo é separar as constantes das variáveis:
$$\frac{4\cdot \pi^2}{GM}=\frac{T^2}{R^3}$$
Sendo uma constante, podemos escrever:
$$\frac{4\cdot \pi^2}{GM}=k$$
E assim, chegamos na 3° Lei de Kepler:
$$k=\frac{T^2}{R^3}$$