Demonstrações
Para um real entendimento sobre determinado tema, mais importante do que decorar certas fórmulas é entender o raciocínio utilizado para se chegar a essa expressão. Venho por meio dessa série de post's, demonstrar algumas fórmulas usadas na Matemática e Física.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Função Horária da Posição
Suponhamos o seguinte gráfico, que representa a velocidade de um móvel no decorrer do tempo:
O produto entre uma variação de velocidade $\Delta V$ e uma variação de tempo $\Delta t$ resulta em uma variação de posição $\Delta S$, pois, analisando suas unidades, temos:
$$\Delta V \cdot \Delta t=\frac{m}{s}\cdot s =m$$
Com isso em mente, podemos dividir o gráfico em duas áreas:
A variação $\Delta S$ do móvel será dada pela soma das áreas $\Delta S_1$ e $\Delta S_2$, que nada mais são do que um retângulo e um triângulo, respectivamente.
Temos:
$$\Delta S=\Delta S_1+\Delta S_2$$
$$\Delta S_1=V_0 \cdot t$$
$$\Delta S_2=\frac{(V-V_0)t}{2}$$
Sabendo que $V=V_0+at$, temos que $V-V_0=at$.
Portanto, $\Delta S$ pode ser calculado por:
$$\Delta S=V_0 \cdot t+\frac{(V-V_0)t}{2} \rightarrow \Delta S=V_0t+\frac{at^2}{2}$$
Ou ainda, sabendo que $\Delta S=S-S_0$, temos a famosa função horária da posição:
$$S=S_0+V_0t+\frac{at^2}{2}$$
O produto entre uma variação de velocidade $\Delta V$ e uma variação de tempo $\Delta t$ resulta em uma variação de posição $\Delta S$, pois, analisando suas unidades, temos:
$$\Delta V \cdot \Delta t=\frac{m}{s}\cdot s =m$$
A variação $\Delta S$ do móvel será dada pela soma das áreas $\Delta S_1$ e $\Delta S_2$, que nada mais são do que um retângulo e um triângulo, respectivamente.
Temos:
$$\Delta S=\Delta S_1+\Delta S_2$$
$$\Delta S_1=V_0 \cdot t$$
$$\Delta S_2=\frac{(V-V_0)t}{2}$$
Sabendo que $V=V_0+at$, temos que $V-V_0=at$.
Portanto, $\Delta S$ pode ser calculado por:
$$\Delta S=V_0 \cdot t+\frac{(V-V_0)t}{2} \rightarrow \Delta S=V_0t+\frac{at^2}{2}$$
Ou ainda, sabendo que $\Delta S=S-S_0$, temos a famosa função horária da posição:
$$S=S_0+V_0t+\frac{at^2}{2}$$