Estudo Analítico do Ponto
Dado dois pontos $A$ e $B$ de um eixo orientado, de abscissas $x_A$ e $x_B$, respectivamente, chamamos distância $d$ entre $A$ e $B$ o módulo da diferença $x_B-x_A$.
A distância é, portanto, o módulo da medida algébrica do segmento de reta AB e é um número real não negativo.
A distância entre A e B pode ser indicada por $|AB|$. Portanto, podemos escrever:
$$d=|AB|=|x_b-x_a|$$
A figura nos mostra que a área total é igual à diferença entre a área do retângulo BDEF e a soma das áres dos triângulos BCD, ACE e ABF.
Então:
A distância é, portanto, o módulo da medida algébrica do segmento de reta AB e é um número real não negativo.
A distância entre A e B pode ser indicada por $|AB|$. Portanto, podemos escrever:
$$d=|AB|=|x_b-x_a|$$
Ponto Médio de um Segmento
Consideremos os pontos distintos $A(x_A,y_A)$ e $B(x_B,y_B)$ e seja $M(x_M,y_M)$ o ponto médio do segmento AB. Admitamos que $x_A<x_B$ e $y_A<y_B$.
Pelo fato de $M$ ser o ponto médio de AB, teremos, como consequência, que:
$x_A<x_M<x_B$ e
$y_A<y_M<y_B$
E: $AM=MB$.
Sabemos também que a abscissa do ponto médio de um segmento de reta é a média aritmética das abscissas dos extremos do segmento.
Baricentro
O ponto de encontro das três medianas de um triângulo qualquer é chamado de baricentro. Pode-se demonstrar que ele divide cada mediana em dois segmentos, de modo que aquele que tem como extremidades um vértice e o baricentro é o dobro daquele que tem como extremidades o baricentro e o ponto médio do lado do triângulo.
Então, no triângulo ABC abaixo, onde G é o baricentro, temos:
Distância entre 2 Pontos
Sejam $A(x_A,y_A)$ e $B(x_B,y_B)$ dois pontos quaisquer do plano cartesiano.
A distância $d$ entre os pontos $A$ e $B$ é a medida do segmento AB.
Como o triângulo destacado é retângulo e AB é sua hipotenusa, aplicando o Teorema de Pitágoras, temos:
$$d=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}$$
Área do Triângulo
Consideremos um triângulo de vértices ABC.
A área desse triângulo pode ser obtida pela fórmula:
$$A=\frac{1}{2}\cdot |D|$$
Na qual D é:
A figura nos mostra que a área total é igual à diferença entre a área do retângulo BDEF e a soma das áres dos triângulos BCD, ACE e ABF.
Então:
Condição de Alinhamento
Vimos que um triângulo ABC tem área:
Essa fórmula no permite concluir que:
Se $D=0$, então $A=0$ e os pontos A, B e C não formam um triângulo, isto é, estão alinhados.
Se os pontos A, B e C estão alinhados, então $D=0$, pois de $D \neq 0$ teríamos $A\neq 0$ e os pontos não poderiam estar alinhados.
Logo, a condição de alinhamento é:
