Estudo Analítico do Ponto
Dado dois pontos A e B de um eixo orientado, de abscissas x_A e x_B, respectivamente, chamamos distância d entre A e B o módulo da diferença x_B-x_A.
A distância é, portanto, o módulo da medida algébrica do segmento de reta AB e é um número real não negativo.
A distância entre A e B pode ser indicada por |AB|. Portanto, podemos escrever:
d=|AB|=|x_b-x_a|
A figura nos mostra que a área total é igual à diferença entre a área do retângulo BDEF e a soma das áres dos triângulos BCD, ACE e ABF.
Então:
A distância é, portanto, o módulo da medida algébrica do segmento de reta AB e é um número real não negativo.
A distância entre A e B pode ser indicada por |AB|. Portanto, podemos escrever:
d=|AB|=|x_b-x_a|
Ponto Médio de um Segmento
Consideremos os pontos distintos A(x_A,y_A) e B(x_B,y_B) e seja M(x_M,y_M) o ponto médio do segmento AB. Admitamos que x_A<x_B e y_A<y_B.
Pelo fato de M ser o ponto médio de AB, teremos, como consequência, que:
x_A<x_M<x_B e
y_A<y_M<y_B
E: AM=MB.
Sabemos também que a abscissa do ponto médio de um segmento de reta é a média aritmética das abscissas dos extremos do segmento.
Baricentro
O ponto de encontro das três medianas de um triângulo qualquer é chamado de baricentro. Pode-se demonstrar que ele divide cada mediana em dois segmentos, de modo que aquele que tem como extremidades um vértice e o baricentro é o dobro daquele que tem como extremidades o baricentro e o ponto médio do lado do triângulo.
Então, no triângulo ABC abaixo, onde G é o baricentro, temos:
Distância entre 2 Pontos
Sejam A(x_A,y_A) e B(x_B,y_B) dois pontos quaisquer do plano cartesiano.
A distância d entre os pontos A e B é a medida do segmento AB.
Como o triângulo destacado é retângulo e AB é sua hipotenusa, aplicando o Teorema de Pitágoras, temos:
d=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}
Área do Triângulo
Consideremos um triângulo de vértices ABC.
A área desse triângulo pode ser obtida pela fórmula:
A=\frac{1}{2}\cdot |D|
Na qual D é:
A figura nos mostra que a área total é igual à diferença entre a área do retângulo BDEF e a soma das áres dos triângulos BCD, ACE e ABF.
Então:
Condição de Alinhamento
Vimos que um triângulo ABC tem área:
Essa fórmula no permite concluir que:
Se D=0, então A=0 e os pontos A, B e C não formam um triângulo, isto é, estão alinhados.
Se os pontos A, B e C estão alinhados, então D=0, pois de D \neq 0 teríamos A\neq 0 e os pontos não poderiam estar alinhados.
Logo, a condição de alinhamento é: