Olá a todos! Hoje apresento a vocês um método que pode ser utilizado para determinar as raízes de uma equação quadrática. Esse método é conhecido como Completar Quadrados.
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Método de Completar Quadrados
Primeiramente, iremos considerar uma equação do tipo:
$$ax^2+bx+c=0$$
Onde $a$, $b$, $c \in \mathbb{R}$, com $a \neq 0$.
Lembrando que se tivermos um quadrado perfeito, podemos fatorá-la de forma que:
$$(x \pm k)^2=(x\pm k)(x\pm k)=0$$
Nosso intuito então, será escrever a equação do segundo grau na forma fatorada.
Vamos considerar a equação do segundo grau completa:
$$ax^2+bx+c=0$$
Como $a \neq 0$, podemos dividir toda a expressão por $a$, obtendo assim:
$$x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}=\frac{0}{a}$$
Agora, isolamos o termo independente $c$:
$$x^2+\frac{b}{a}x=-\frac{c}{a}$$
Nosso objetivo, como dito antes, é transformar o termo da esquerda em um quadrado perfeito. Para isso, basta dividirmos o termo que acompanha o $x$ e dividi-lo por 2:
$$ \frac{b}{2a} $$
Assim, podemos reescrever nossa expressão, adicionando o quadrado desse novo termo em ambos os lados da igualdade:
$$x^2+\frac{b}{a}x+(\frac{b}{2a})^2= (\frac{b}{2a})^2-\frac{c}{a}$$
A parte esquerda da igualdade pode ser escrita como um quadrado perfeito:
$$(x+\frac{b}{a})^2=\frac{b^2-4ac}{4a^2}$$
Tirando a raiz quadrada em ambos os lados e isolando $x$, finalmente, temos a famosa fórmula de Bháskara:
$$x=\frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$