Olá a todos! Hoje apresento a vocês um método que pode ser utilizado para determinar as raízes de uma equação quadrática. Esse método é conhecido como Completar Quadrados.
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Método de Completar Quadrados
Primeiramente, iremos considerar uma equação do tipo:
ax^2+bx+c=0
Onde a, b, c \in \mathbb{R}, com a \neq 0.
Lembrando que se tivermos um quadrado perfeito, podemos fatorá-la de forma que:
(x \pm k)^2=(x\pm k)(x\pm k)=0
Nosso intuito então, será escrever a equação do segundo grau na forma fatorada.
Vamos considerar a equação do segundo grau completa:
ax^2+bx+c=0
Como a \neq 0, podemos dividir toda a expressão por a, obtendo assim:
x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}=\frac{0}{a}
Agora, isolamos o termo independente c:
x^2+\frac{b}{a}x=-\frac{c}{a}
Nosso objetivo, como dito antes, é transformar o termo da esquerda em um quadrado perfeito. Para isso, basta dividirmos o termo que acompanha o x e dividi-lo por 2:
\frac{b}{2a}
Assim, podemos reescrever nossa expressão, adicionando o quadrado desse novo termo em ambos os lados da igualdade:
x^2+\frac{b}{a}x+(\frac{b}{2a})^2= (\frac{b}{2a})^2-\frac{c}{a}
A parte esquerda da igualdade pode ser escrita como um quadrado perfeito:
(x+\frac{b}{a})^2=\frac{b^2-4ac}{4a^2}
Tirando a raiz quadrada em ambos os lados e isolando x, finalmente, temos a famosa fórmula de Bháskara:
x=\frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}
