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Análise Combinatória - Resoluções
1.1)
a)
O algarismo das unidades de milhar não pode ser 0; logo, essa posição só pode ser preenchida com um dos 9 algarismos restantes;
Com relação à posição das centenas, das dezenas e das unidades, quaisquer dos dez algarismos pode ocupá-la.
Logo: $9\cdot 10 \cdot 10 \cdot 10=9000$
b)
O algarismo das unidades de milhar não pode ser 0; logo, essa posição só pode ser preenchida com um dos 9 algarismos restantes;
Para a posição das centenas, o algarismo pode ser 0 ou quaisquer dos 8 restantes (Não pode haver repetição); portanto, temos 9 possibilidades;
Para a posição das dezenas, temos 8 possibilidades e, para a posição das unidades, 7.
Logo: $9\cdot 9\cdot 8 \cdot 7=4536$.
1.2)
Nosso alfabeto possui 26 letras; nas placas, elas podem aparecer repetidas ou não e os algarismos também.
Logo: $26\cdot 26\cdot 26\cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10=175760000$
1.3)
a) Pela regra do produto: $9\cdot 9\cdot 8=648$.
b) Pela regra do produto: $9\cdot 10\cdot 10=900$.
c) Pela regra do produto: $9\cdot 10\cdot 10\cdot 5=4500$.
1.4)
a) Pela regra do produto: $6\cdot 5\cdot 4\cdot 3=360$.
b) Pela regra do produto: $6\cdot 6\cdot 2=72$.
c) Pela regra do produto: $2\cdot 6\cdot 6 \cdot 6=432$.
1.5) pela regra do produto: $5 \cdot 4 \cdot 2=40$.
1.6) $5!=120$
2.1) $\displaystyle \frac{12\cdot 11\cdot 10!}{10!}=12\cdot 11=132$.
2.2)
a) $6!=6\cdot 5!=6\cdot 120=720$.
b) $120+7\cdot 720=5160$.
c) $\displaystyle \frac{6!}{7\cdot 6!}+\frac{8\cdot 7!}{7!}=\frac{1}{7}+8=\frac{57}{7}$
2.3)
a) $\displaystyle \frac{8\cdot 7!}{7!}=8$.
b) $\displaystyle \frac{11!}{12\cdot 11!}=\frac{1}{12}$.
c) $\displaystyle \frac{9\cdot 10\cdot 9!}{9!\cdot 8}=\frac{90}{8}=\frac{45}{4}$.
3.1)
a) $\frac{\frac{n!}{(n-3)!}}{\frac{n!}{(n-2)!}}=\frac{(n-2)!}{(n-3)!}=n-2$
b) $\frac{7!}{4!}=7\cdot 6\cdot 5=210$
c) $\frac{10!}{7!}+\frac{10!}{8!}=720+90=810$
3.2) $20\cdot 19\cdot 18\cdot 17\cdot 16=1860480$
4.1) $\frac{5!-4!}{3!}=\frac{96}{6}=16$
4.2) $P_4=4!=24$
4.3)$A_{4,2}\cdot 8!=483840$
4.4) $8!=40320$
5.1) $\frac{\frac{8!}{8!3!}+6} {\frac{5!}{3!}}=\frac{62}{20}=\frac{31}{10}$