Análise Combinatória - Resoluções

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Análise Combinatória - Resoluções

1.1)

a)

O algarismo das unidades de milhar não pode ser 0; logo, essa posição só pode ser preenchida com um dos 9 algarismos restantes;

Com relação à posição das centenas, das dezenas e das unidades, quaisquer dos dez algarismos pode ocupá-la.  

Logo: $9\cdot 10 \cdot 10 \cdot 10=9000$

b)

O algarismo das unidades de milhar não pode ser 0; logo, essa posição só pode ser preenchida com um dos 9 algarismos restantes;

Para a posição das centenas, o algarismo pode ser 0 ou quaisquer dos 8 restantes (Não pode haver repetição); portanto, temos 9 possibilidades;

Para a posição das dezenas, temos 8 possibilidades e, para a posição das unidades, 7.

Logo: $9\cdot 9\cdot 8 \cdot 7=4536$.

1.2)

Nosso alfabeto possui 26 letras; nas placas, elas podem aparecer repetidas ou não e os algarismos também.

Logo: $26\cdot 26\cdot 26\cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10=175760000$

1.3)

a) Pela regra do produto: $9\cdot 9\cdot 8=648$.

b) Pela regra do produto: $9\cdot 10\cdot 10=900$.

c) Pela regra do produto: $9\cdot 10\cdot 10\cdot 5=4500$.

1.4)

a) Pela regra do produto: $6\cdot 5\cdot 4\cdot 3=360$.

b) Pela regra do produto: $6\cdot 6\cdot 2=72$.

c) Pela regra do produto: $2\cdot 6\cdot 6 \cdot 6=432$.

1.5) pela regra do produto: $5 \cdot 4 \cdot 2=40$.

1.6) $5!=120$

2.1) $\displaystyle \frac{12\cdot 11\cdot 10!}{10!}=12\cdot 11=132$.

2.2)

a) $6!=6\cdot 5!=6\cdot 120=720$.

b) $120+7\cdot 720=5160$.

c) $\displaystyle \frac{6!}{7\cdot 6!}+\frac{8\cdot 7!}{7!}=\frac{1}{7}+8=\frac{57}{7}$

2.3) 

a) $\displaystyle \frac{8\cdot 7!}{7!}=8$.

b) $\displaystyle \frac{11!}{12\cdot 11!}=\frac{1}{12}$.

c) $\displaystyle \frac{9\cdot 10\cdot 9!}{9!\cdot 8}=\frac{90}{8}=\frac{45}{4}$.

3.1)

a) $\frac{\frac{n!}{(n-3)!}}{\frac{n!}{(n-2)!}}=\frac{(n-2)!}{(n-3)!}=n-2$

b) $\frac{7!}{4!}=7\cdot 6\cdot 5=210$

c) $\frac{10!}{7!}+\frac{10!}{8!}=720+90=810$

3.2) $20\cdot 19\cdot 18\cdot 17\cdot 16=1860480$

4.1) $\frac{5!-4!}{3!}=\frac{96}{6}=16$

4.2) $P_4=4!=24$

4.3)$A_{4,2}\cdot 8!=483840$

4.4) $8!=40320$

5.1) $\frac{\frac{8!}{8!3!}+6} {\frac{5!}{3!}}=\frac{62}{20}=\frac{31}{10}$