Resolução Comentada ENEM 2013 - Matemática

Olá a todos! Como todos já sabem, o resultado do ENEM 2015 já saiu e não agradou muita gente. É por essa e outras que pretendi iniciar um projeto de resolução das edições anteriores do ENEM. 

O meu foco é Matemática e Suas Tecnologias, que em toda edição é a matéria com a nota mais baixa. Bom, espero que seja de grande proveito a todos, e se gostarem da iniciativa, a única coisa que peço é que compartilhem com seus amigos, comentem, interajam :D
OBSERVAÇÃO: Se atentem à cor do caderno ok? Vou disponibilizar o link de download da prova abaixo. Baixem, TENTEM RESOLVER e em seguida comparem :D

ENEM 2013 Caderno Amarelo: Download

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ENEM 2013 - Matemática e suas Tecnologias

136) A parábola descrita corta o eixo x em apenas um ponto, logo ela possui apenas 1 raiz real. Isso implica que o discriminante da função é 0 ($\Delta=0$).
Portanto, temos que:
$$\Delta = b^2-4ac=0 \therefore (-6)^2-4\cdot \frac{3}{2}\cdot c=0$$
Logo $C$ é 6.

137) O enunciado nos diz que o cubo de S e o quadrado de M são proporcionais:
$$S^3=k\cdot M^2$$
Para descobrirmos a expressão de $S$ basta utilizarmos a seguinte propriedade:
$$\sqrt[n]{m}=m^{\frac{1}{n}}$$  
Logo, a expressão de S é:
$$S=k^{\frac{1}{3}}\cdot M^{\frac{2}{3}}$$

138) Supondo a órbita circular, a força exercida pela Terra é constante no tempo. Saber disso já elimina a maior parte das alternativas. Para finalmente se decidir, basta se atentar à equação de Newton, onde a distância $d$ se encontra no denominador, consequentemente quanto maior a distância, menor a Forca entre os corpos.
Sabendo que as forças são constantes e que a força decai com a distância, temos que a alternativa B é a correta.

139) Achei a questão mal formulada, porém para bater com o gabarito, a única forma é subtraindo Guarulhos de São Paulo (Capital). Logo:
$$60,52-3,57=56,95$$
140) O total de cadeiras é facilmente calculado, multiplicando o total na horizontal, pelo total na vertical:
$$T=10 \cdot 7=70$$
Existem 17 cadeiras reservadas, logo a razão entre as reservadas e o total é:
$$\frac{17}{70}$$
141) O total de compradores do produto A é dado por:
$$T_A=10+30+60=100$$
O total de compradores de A no mês de Fevereiro é 30, logo a probabilidade de ser escolhido é:
$$P_A=\frac{30}{100}=\frac{3}{10}$$
O total de compradores do produto A é dado por:
$$T_B=20+20+80=120$$

O total de compradores de B no mês de Fevereiro é 20, logo a probabilidade de ser escolhido é:
$$P_B=\frac{20}{120}=\frac{1}{6}$$

A probabilidade de determinado evento A e B ocorrerem SIMULTANEAMENTE é dada pelo produto entre as probabilidades.

$$P_A \cdot P_B= \frac{3}{10}\cdot \frac{1}{6}=\frac{1}{20}$$

142) A equação da circunferência é dada por:
$$(x-x_0)^2+(y-y_0)^2=r^2$$
A afirmativa I corresponde a um círculo de raio 3 e centrada na origem, pois $x_0=0$ e $y_0=0$.
Quando o coeficiente $a$ de uma função do segundo grau é negativo, temos que a concavidade será voltada para baixo. Quando $x=0$, $y=-1$ logo ela estará deslocada abaixo do eixo x.
Pela análise dessas duas afirmativas, já vemos que a resposta é a alternativa E.

143) A quantidade de água que cada ralo elimina em 6 horas é dado por:
$$\frac{900}{6}=150m^3$$
Logo, em 1 hora, os 6 ralos eliminarão:
$$\frac{150}{6}=25m^3$$
Sendo os novos ralos idênticos aos antigos, sua capacidade de escoamento também será de $25m^3$ por hora, portanto em 4 horas terão escoado $100m^3$ de água. Logo, a quantidade de ralos necessário para esvair o tanque é de:
$$\frac{500}{100}=5$$

144) A área da placa de lados $y$ é $y^2$.
Logo, na caixa haverão:
$$N\cdot y^2$$
Tendo as placas lados $3y$, terão uma área de $9y^2$.
Logo, na caixa haverão:
$$X\cdot 9y^2$$
Como a área não será alterada, temos que:
$$N\cdot y^2= X\cdot 9y^2 \therefore X=\frac{N}{9}$$
145) O volume da área de lazer é dado por:
$$\pi\cdot r^2 \cdot 1=3 r^2$$
Logo, para se adequar ao pedido, temos que:
$$12-3r^2 \geq 4 \therefore r^2 \leq \frac{8}{3} \therefore r \leq 1,6$$  

146) O lucro obtido pode ser calculado da seguinte maneira:
$$34000-26000=8000$$
Ele deverá pagar 15% do lucro, logo:
$$8000\cdot \frac{15}{100}=80\cdot 15=1200$$

147) Sabemos que, pela relação de proporção, o seguinte:
$$\frac{c}{1}=\frac{a}{4}=\frac{b}{2}$$
DIsso, concluímos que:
$$c=\frac{a}{4} \therefore a= 4c$$
E também que:
$$c=\frac{b}{2} \therefore b=2c$$
Sabemos que o caminhão trouxe $14m^3$ de concreto, logo:
$$a+b+c=14 \therefore 4c+2c+c=14$$
$$7c=14 \therefore c=2$$

148) Para encontrar a empresa com maior lucro, basta dividir o lucro pelo tempo de existência.
$$F=\frac{24}{3}=8$$
$$G=\frac{24}{2}=12$$
$$H=\frac{25}{2,5}=10$$
$$M=\frac{15}{1,5}=10$$
$$P=\frac{9}{1,5}=6$$
Logo, a empresa escolhida é a G.

149) Analisando o gráfico, temos que o custo total foi de:
$$2\cdot 1,7+3\cdot 2,65+4=15,35$$

150) Observamos que:
$25% \cdot 200 = 50$ hotéis que cobram 200,00 ;
$25% \cdot 200 = 50$ hotéis que cobram 300,00 ;
$40% \cdot 200 = 50$ hotéis que cobram 400,00 ;
$10% \cdot 200 = 50$ hotéis que cobram 600,00 ;
Os elementos centrais são $300$ e $400$, logo a mediana é:
$$\frac{300+400}{2}=350$$

151) O cliente que não tem o cartão fidelidade irá ter um desconto de 20% na compra:
$$50\cdot 0,8=40$$
Já se possuísse o cartão, receberia o desconto da loja de 20%, porém também teria o desconto adicional sobre o TOTAL da compra, ou seja, teria um desconto de 10% sobre 40 reais, ou seja:
$$40\cdot 0,9=36$$
Logo, ele teria economizado:
$$40-36=4$$

152) Para cercar completamente o terreno, será necessário:
$$191+81+81=353m$$
Como cada rolo possui 48m de comprimento, precisa-se comprar:
$$\frac{353}{48}=7,3$$
Logo, serão necessários 8 rolos.

153) Chamando o número de telhas e tijolos respectivamente de x e y, temos a seguinte relação:
$$1500x=1200y \therefore x=\frac{12}{15}y$$
O caminhão foi carregado com 900 telhas, logo, ainda é permitido adicionar o equivalente a 600 telhas de tijolos. Para encontrar esse valor, basta substituir na fórmula:
$$600x=600\cdot \frac{12}{15}y=480y$$
Logo, poderá ainda levar 480 tijolos.

154) As projeções de produção de arroz formam uma P.A, pois cada termo é acrescido de um valor constante.
Temos a seguinte P.A:
$$\{50,25;51,5;52,75...\}$$
A razão da P.A pode ser calculada subtraindo-se um termo do seu anterior:
$$r=51,5-50,25=1,25$$
Cada termo de uma P.A pode ser escrito como $a_1$, $a_2$, $a_n$, sendo que
$$a_1=50,25$$
$a_n$ é o último termo dessa sequência. No caso estamos analisando os dados de 10 anos consecutivos ($2021-2012$), logo $a_n=a_{10}$.
Para calcularmos o ené-simo termo de uma sequência, podemos recorrer à seguinte fórmula:
$$a_n=a_1+(n-1)r \therefore a_{10}=50,25+9\cdot 1,25=61,5$$
Ou seja, para o ano de 2021, temos uma projeção de 61,5 T.
Com esses dados, podemos utilizar a fórmula da Soma dos termos de uma P.A:
$$S_n=\frac{(a_1+a_n)n}{2} \therefore S_{10}= \frac{(50,25+61,5) \cdot 10}{2}=558,75$$

155) A quantidade de alunos que falam apenas inglês pode ser expressa por:
$$600-x$$
Onde $x$ é a quantidade de alunos que falam inglês e espanhol.
A quantidade de alunos que falam apenas espanhol pode ser expressa por:
$$500-x$$
Logo, podemos escrever:
$$(600-x)+x+(500-x)=1200 \therefore x=200$$
Portanto, podemos escrever que a quantidade de alunos que falam apenas espanhol é:
$$500-200=300$$
O total de alunos que não falam inglês é 600 (300 não falam inglês e 300 não falam nenhuma das duas). Logo a probabilidade é:
$$\frac{300}{600}=\frac{1}{2}$$

156) Segundo o enunciado, temos o seguinte esquema:

(Créditos da imagem ao Objetivo) 

Sabemos que a tangente de um ângulo é dada pela razão entre o cateto oposto pelo adjacente. Logo:
$$\tan(15)=\frac{CB}{AB}\therefore CB=0,26 \cdot 114 = 29,64$$
Logo, a aresta da base é aproximadamente 30m. O enunciado nos informa que a base é quadrada, logo sua área é aproximadamente igual a $900m^2$. Portanto a resposta certa é E.

157) A média anterior é dada por:
$$M_a=\frac{18+16+17+13+14+1+19+14+16+12}{10}=14$$
A nova média é dada por: $$M_n=\frac{18+16+17+13+14+14+16+12}{8}=15$$
Logo:
$$M_n-M_a=15-14=1$$

158) Anteriormente à mudança, temos uma senha de 6 dígitos podendo ser preenchidos com os algarismos de 0 a 9.
Logo, para cada "casa" da senha, temos 10 possibilidades. Logo, com 6 "casas" temos $10^6$ possibilidades.
Após a mudança, podemos preencher as "casas" da senha com 10 algarismos, 26 letras minúsculas e 26 letras maiúsculas, ou seja, temos 62 opções. Logo, com 6 "casas" temos $62^6$ possibilidades.
O Coeficiente de Melhora é calculado pela razão entre a senha melhorada e a anterior:
$$\frac{62^6}{10^6}$$

159) O tempo total que a torneira ficou aberta foi de 6 horas, que em segundos pode ser escrita como:
$$T=6h\cdot \frac{60min}{1h}\cdot \frac{60s}{1min}=6\cdot 3600=21600s$$
Como a cada 3 segundos "pinga" 1 gota, temos que pingaram:
$$\frac{21600}{3}=7200$$
Temos também que o volume de cada gota corresponde a $0,2mL$. O submúltiplo "mili" corresponde a $10^{-3}$, logo, o volume total desperdiçado é:
$$7200\cdot 0,2\cdot 10^{-3}$$
Podemos convenientemente reescrever a sentença acima afim de facilitar o cálculo:
$$7,2\cdot 10^3\cdot 0,2\cdot 10^{-3}=7,2\cdot 0,2=1,44$$  

160) Podemos esquematizar o seguinte:

(Créditos da imagem ao Objetivo)

A alternativa correspondente é a E.

161) Considerando A e C iguais, e B e D diferentes, temos 6 possibilidades;
Considerando B e D iguais e A e C diferentes, temos outras 6 possibilidades.
Com isso, somam-se 12 possibilidades.
162) Essa questão pode ser resolvida de 2 maneiras.
MÉTODO NINJA:
O enunciado nos diz que $A$ é a massa inicial, e que a meia vida de uma amostra são 30 anos.
Logo:
$$A=100%$$
Depois de 30 anos temos:
$$\frac{A}{2}=50\%$$
Depois de 60 anos temos:
$$\frac{A}{4}=25\%$$
Depois de 90 anos temos:
$$\frac{A}{8}=12,5\%$$
Com essas informações, temos que a única opção possível é a letra E.

2° Método:
Temos que:
$$M(t)=A\cdot (2,7)^{kt}$$
Depois de 30 anos, sabemos que a massa inicial $A$ irá se reduzir pela metade, logo:
$$\frac{A}{2}=A\cdot (2,7)^{30k}$$
Simplificando $A$ dos dois membros obtemos:
$$\frac{1}{2}=(2,7)^{30k}$$
Aplicando Log decimal nos dois membros, obtemos:
$$\log[2^{-1}]=\log[(2,7)^{30k}]$$
Aplicando as propriedades, temos:
$$- \log(2)=30\cdot \log[(2,7)^k]$$
Sabendo-se que $\log 2=0,3$ temos:
$$-\frac{3}{10}=30\cdot \log[(2,7)^k]$$
Simplificando obtemos:

$$-\frac{1}{100}=\log[(2,7)^k]$$
A questão pede que calculemos o tempo necessário para a massa ser $10\%$ da inicial, logo:
$$\frac{A}{10}=A\cdot (2,7)^{kt}$$
Simplificando o termo $A$, temos:
$$\frac{1}{10}=(2,7)^{kt}$$
Aplicando Log nos dois lados da expressão obtemos:
$$\log(10^{-1})=\log[(2,7)^{kt}]$$
Aplicando as propriedades, temos:

$$-\log10=t\cdot \log(2,7)^k \therefore t\cdot \log(2,7)^k=-1$$
Já calculamos que o $\log(2,7)^k$ é igual a $-\displaystyle \frac{1}{100}$. Portanto:
$$-\frac{1}{100}\cdot t=-1 \therefore t=100$$

163) O enunciado nos informa que uma unidade de onça fluida equivale a $2,95cL$.
Para transformar em $mL$, basta multiplicarmos por 10:
$$2,95cL=29,5mL$$
$$\frac{355}{29,5}=12,03$$

164) Chamando de $w$ o tempo em que a luz vermelha fica acesa, temos:
$$x=\frac{2}{3}w \therefore w=\frac{3}{2}x$$
O tempo total do ciclo é $y$, logo:
$$y=5+x+\frac{3}{2}x$$
Multiplicando toda a expressão por 2 e rearranjando os termos, temos:
$$5x-2y+10=0$$

165) Como a temperatura esperada para a liberação do forno é de 39 graus, podemos escrever:
$$-\frac{t^2}{4}+400=39$$
Multiplicando ambos os lados da expressão por $4$, obtemos:
$$-t^2+1600=156 \therefore t^2=1444$$
Sabemos que a raiz de 1444 se encontra no intervalo [30,40], logo, testando as duas alternativas possíveis, obtemos 38, pois
$$38^2=1444$$

166) Sabemos que o primeiro registrado foi em 1755. Logo, até 2101, se passaram:
$$2101-1755=346$$ Temos também que cada ciclo dura 11 anos, portanto: $$\frac{346}{11}=31,4$$
Logo, em 2101 estaremos no trigésimo segundo ciclo.


167) Para descobrirmos o número de vezes em que o mapa foi ampliado, basta realizarmos a divisão entre  escala maior pela escala menor:
$$\frac{\frac{1}{4000000}}{\frac{1}{25000000}}=\frac{25}{4}\approx 6$$
Ou seja, o mapa foi aumentado em seu comprimento, em 6 vezes.
Para descobrirmos a área aumentada, basta elevarmos ao quadrado:
$$6^2=36$$

$$30<36<40$$

168) A torre deve ser construída em um ponto equidistante (P) simultaneamente aos pontos A (30,20), B(70,20) e C(60,50). Os pontos equidistantes de A e B pertencem à mediatriz do segmento AB. A mediatriz passa pela coordenada:
$$x=\frac{30+70}{2}=50$$
Como o ponto C também deve ser equidistante aos pontos A e B, faz-se dPA= dPC. A distância entre pontos pode ser calculada através da relação:
$$d=\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2}$$
Logo:
$$\sqrt{ (50-30)^2+(y_p-20)^2}= \sqrt{(50-60)^2+(y_p-50)^2}$$ Elevando ambos os lados da expressão ao quadrado, obtemos:
$$20^2+(y_p-20)^2=(-10)^2+(y_p-50)^2$$
$$400+y_p^2-40y_p+400=100+y_p^2-100y_p+2500$$
$$60y_p=1800 \therefore y_p=30$$
Portanto o ponto ao qual deve ser fixada a torre é o ponto:

$$P(50,30)$$

169) As duas figuras são troncos de cone.

170) No plano cartesiano mostrado, o eixo $y$ representa as notas e o eixo $x$, o tempo de estudo.
Dos países onde as notas estão abaixo da média ($y<0$), Israel é aquele onde a coordenada $x$ é maior, ou seja, consta o maior tempo de estudo.

171) Cada copo irá se intercectar em AC, pois $AC>BD$.
A largura $l$ da bandeja é dada por:
$$l=2AC+2BD$$
Sabemos que:
$$AC=\frac{7}{5}BD$$
Logo, podemos escrever:
$$\frac{14}{5}BD+2BD=l \therefore \frac{24}{5}BD=l$$
Dessa forma, o quociente entre $l$ e $BD$ é:
$$\frac{l}{BD}=\frac{24}{5}$$

172) Temos que os triângulos AEF e ABD são semelhantes, portanto podemos escrever:
$$\frac{EF}{6}=\frac{AF}{AB}$$
Os triângulos BEF e ABC também são semelhantes, portanto podemos escrever:
$$\frac{EF}{4}=\frac{BF}{AB}$$
Afim de encontrar EF, podemos somar as duas expressões:
$$\frac{EF}{6}+\frac{EF}{4}=\frac{AF}{AB}+\frac{BF}{AB}$$
Sabemos pela imagem que $AF+BF=AB$ Logo:
$$\frac{5\cdot EF}{12}=1$$
Portanto $EF=2,4$

173) Muitos alunos marcam a alternativa C, que representa a trajetória da gangorra.
Porém o enunciado pede a projeção ortogonal da trajetória, representada na imagem abaixo:

174) A área anterior ao cozimento é dada pela multiplicação de seus lados:
$$A_1=30 \cdot 15= 450$$

Como houve uma redução em $20\%$ após o cozimento, temos:
$$0,8 \cdot 30=24$$
$$0,8\cdot 15=12$$
Portanto a nova área é dada por:
$$A_2=24\cdot 12=288$$

A redução da área é calculada por:
$$A_1-A_2=450-288=162$$

Para encontrarmos a redução percentual,  podemos aplicar uma regra de 3, onde 450 representa a $100\%$ e 162 representa $x\%$:

$$x=\frac{1620}{45}=36$$
Podemos resolver essa questão de forma mais rápida, chamando os lados "originais" de $a$ e $b$ e efetuando a razão entre a área nova pela original:
$$\frac{0,8a\cdot 0,8b}{ab}=0,64=64\%$$ .
Logo, houve uma redução de:
$$100-64=36\%$$

175) A probabilidade de 2 eventos independentes ocorrerem simultaneamente é dada por:
$$P=P(A)\cdot P(B)$$
A probabilidade de pegarmos um parafuso defeituoso da Máquina I é:
$$\frac{54}{100}\cdot \frac{25}{1000}=\frac{1350}{100000}=1,35\%$$
A probabilidade de pegarmos um parafuso defeituoso da Máquina II é:
$$\frac{46}{100}\cdot \frac{38}{1000}=\frac{1748}{100000}=1,748\%$$
A probabilidade conjunta é dada pela soma:
$$1,35+1,748=3,098\%$$
$$\frac{2}{100} \leq \frac{3}{100} \leq \frac{4}{100}$$

176) Sabendo-se que uma combinação pode ser calculada por:
$$C_{a,b}=\binom{a}{b}=\frac{a!}{(a-b)!b!}$$
Temos, para cada apostador:
$$250\cdot \binom{6}{6}=250$$
$$41\cdot \binom{7}{6}+ 4\cdot \binom{6}{6}=287+4=291$$
$$12\cdot \binom{8}{6}+10\cdot \binom{6}{6}=336+10=346$$
$$4\cdot \binom{9}{6}=336$$
$$2\cdot \binom{10}{6}=420$$

177) Como:
$$\frac{90}{100}\cdot 2=1,8>1,7$$
$$\frac{90}{100}\cdot 4,5=4,05<4,1$$
$$\frac{90}{100}\cdot 3,8=3,42<3,5$$
$$\frac{90}{100}\cdot 6=5,4>5,3$$
Logo, compensa comprar B,A,A,B

178) Podemos ressaltar:

Logo, temos que
$$R=OC+CD+DE$$
O ponto O é o baricentro do triângulo, logo:
$$OC=\frac{2}{3}h$$
Onde $h$ é a altura do triângulo, e pode ser calculada por:
$$\sin 60= \frac{h}{60} \therefore \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{h}{60}\therefore h=30\sqrt{3}$$
Logo, calculando OC, temos: $$OC=\frac{2}{3}\cdot 30 \sqrt{3}=20\sqrt{3}\approx 34$$
Logo:
$$R=34+30+10=74$$
É válido pensar que o diâmetro do tubo interior é $60$, que acrescido de $10$ do espaçador, resultam em um total de 70 cm, que é aproximadamente igual ao raio do tubo maior.

179) Aplicando o cálculo descrito no enunciado, temos para cada vaca:
$$\frac{360\cdot 12}{15}=288$$
$$\frac{310\cdot 11}{12}\approx 284,2$$
$$\frac{260\cdot 14}{12}=303,3$$
$$\frac{310\cdot 13}{13}=310$$
$$\frac{270\cdot 12}{11}=294,5$$
A vaca mais eficiente é a Mateira.

180) Pela figura, temos que o menino andou 16 cm.
Como são 5 dias e o trajeto é de ida e volta, temos:
$$16\cdot 2\cdot 5=160cm$$
Como cada cm equivale a 25000 cm, temos:
$$4000000cm=40000m=40km$$