Para simplificarmos essa expressão, basta multiplicá-la pelo seu conjugado:
$$\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}\cdot \frac{\sqrt{2}-\sqrt{3}}{\sqrt{2}-\sqrt{3}}$$
Lembrando do Produto Notável:
$$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$$
Ficamos com:
$$\frac{\sqrt{2}-\sqrt{3}}{(\sqrt{2})^2-(\sqrt{3})^2}$$
Resultando:
$$\sqrt{3}-\sqrt{2}$$
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Primeiramente temos que lembrar a seguinte propriedade:
$$a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$$
Sendo $a=\sqrt[3]{3}$ e $b=1$, temos:
$$(\sqrt[3]{3})^3-1^3=(\sqrt[3]{3}-1)[(\sqrt[3]{3})^2+1 \cdot \sqrt[3]{3}+1^2)]$$
$$3-1=(\sqrt[3]{3}-1)[\sqrt[3]{9}+\sqrt[3]{3}+1]$$
$$2=(\sqrt[3]{3}-1)[\sqrt[3]{9}+\sqrt[3]{3}+1]$$
Finalmente temos que:
$$\sqrt[3]{3}-1=\frac{2}{\sqrt[3]{9}+\sqrt[3]{3}+1}$$
Com essa informação, podemos voltar e substituir na expressão original:
$$\frac{1}{\sqrt[3]{3}-1}=\frac{1}{\frac{2}{\sqrt[3]{9}+\sqrt[3]{3}+1}}$$
Sabemos que em uma divisão de frações, se copia a primeira e multiplica pelo inverso da segunda:
$$\frac{\frac{a}{b}}{\frac{c}{d}}= \frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c}$$
Logo, ao aplicar essa propriedade ficamos com:
$$\frac{\sqrt[3]{9}+\sqrt[3]{3}+1}{2}$$