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Radicais



Para simplificarmos essa expressão, basta multiplicá-la pelo seu conjugado:
\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}\cdot \frac{\sqrt{2}-\sqrt{3}}{\sqrt{2}-\sqrt{3}}
Lembrando do Produto Notável:
(a+b)(a-b)=a^2-b^2
Ficamos com:
\frac{\sqrt{2}-\sqrt{3}}{(\sqrt{2})^2-(\sqrt{3})^2}
Resultando:
\sqrt{3}-\sqrt{2}
-------------------------------------------------------------------------------------
Primeiramente temos que lembrar a seguinte propriedade:
a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)
Sendo a=\sqrt[3]{3} e b=1, temos:
(\sqrt[3]{3})^3-1^3=(\sqrt[3]{3}-1)[(\sqrt[3]{3})^2+1 \cdot \sqrt[3]{3}+1^2)]
3-1=(\sqrt[3]{3}-1)[\sqrt[3]{9}+\sqrt[3]{3}+1]
2=(\sqrt[3]{3}-1)[\sqrt[3]{9}+\sqrt[3]{3}+1]
Finalmente temos que:
\sqrt[3]{3}-1=\frac{2}{\sqrt[3]{9}+\sqrt[3]{3}+1}
Com essa informação, podemos voltar e substituir na expressão original:
 \frac{1}{\sqrt[3]{3}-1}=\frac{1}{\frac{2}{\sqrt[3]{9}+\sqrt[3]{3}+1}}
Sabemos que em uma divisão de frações, se copia a primeira e multiplica pelo inverso da segunda:
\frac{\frac{a}{b}}{\frac{c}{d}}= \frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c}
Logo, ao aplicar essa propriedade ficamos com:
\frac{\sqrt[3]{9}+\sqrt[3]{3}+1}{2}

Dúvida do amigo William Souza de Jejus. Espero que tenha entendido.




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