Demonstração da Relação entre Coeficientes Angulares de Retas Perpendiculares

Demonstrações

Para um real entendimento sobre determinado tema, mais importante do que decorar certas fórmulas é entender o raciocínio utilizado para se chegar a essa expressão. Venho por meio dessa série de post's, demonstrar algumas fórmulas usadas na Matemática e Física.

----------------------------------------------------------------------------------------

Demonstração da Relação entre Coeficientes Angulares de Retas Perpendiculares

Considere duas retas, $r_1$ e $r_2$ como na figura abaixo.

Sejam $m_1$ e $m_2$ os coeficientes de $r_1$ e $r_2$ respectivamente.

Temos, de acordo com a figura:

$$m_1=tan(\theta)$$

$$m_2=\tan(\theta+\frac{\pi}{2})$$

Escrevendo a tangente em termos de senos e cossenos temos:
$$m_2=\tan(\theta+\frac{\pi}{2})=\frac{\sin(\theta+\frac{\pi}{2})}{\cos(\theta+\frac{\pi}{2})}$$

Utilizando a soma de arcos, obtemos:

$$m_2=\frac{\sin(\theta)\cos(\frac{\pi}{2})+\sin(\frac{\pi}{2})\cos(\theta)}{\cos(\theta)\cos(\frac{\pi}{2})-\sin(\theta)\sin(\frac{\pi}{2})}$$

Com isso, basta simplificar:
$$m_2=-\frac{\cos(\theta)}{\sin(\theta)}=-\frac{1}{\tan(\theta)}$$

Dessa forma, obtemos a relação entre $m_1$ e $m_2$:
$$m_2=-\frac{1}{m_1}$$

Até mais, e qualquer dúvida me contatem pelo facebook!