Demonstrações
Para um real entendimento sobre determinado tema, mais importante do que decorar certas fórmulas é entender o raciocínio utilizado para se chegar a essa expressão. Venho por meio dessa série de post's, demonstrar algumas fórmulas usadas na Matemática e Física.
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Demonstração da Relação entre Coeficientes Angulares de Retas Perpendiculares
Considere duas retas, $r_1$ e $r_2$ como na figura abaixo.
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Sejam $m_1$ e $m_2$ os coeficientes de $r_1$ e $r_2$ respectivamente.
Temos, de acordo com a figura:
$$m_1=tan(\theta)$$
$$m_2=\tan(\theta+\frac{\pi}{2})$$
Escrevendo a tangente em termos de senos e cossenos temos:
$$m_2=\tan(\theta+\frac{\pi}{2})=\frac{\sin(\theta+\frac{\pi}{2})}{\cos(\theta+\frac{\pi}{2})}$$
$$m_2=\tan(\theta+\frac{\pi}{2})=\frac{\sin(\theta+\frac{\pi}{2})}{\cos(\theta+\frac{\pi}{2})}$$
Utilizando a soma de arcos, obtemos:
$$m_2=\frac{\sin(\theta)\cos(\frac{\pi}{2})+\sin(\frac{\pi}{2})\cos(\theta)}{\cos(\theta)\cos(\frac{\pi}{2})-\sin(\theta)\sin(\frac{\pi}{2})}$$
Com isso, basta simplificar:
$$m_2=-\frac{\cos(\theta)}{\sin(\theta)}=-\frac{1}{\tan(\theta)}$$
$$m_2=-\frac{\cos(\theta)}{\sin(\theta)}=-\frac{1}{\tan(\theta)}$$
Dessa forma, obtemos a relação entre $m_1$ e $m_2$:
$$m_2=-\frac{1}{m_1}$$
$$m_2=-\frac{1}{m_1}$$
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