FATEC 2014 / 1° Semestre - Matemática

Olá a todos! 
Estarei, nessa série de posts, comentando as provas dos Vestibulares da Fatec anteriores, afim de prepará-los para as provas futuras.
Bom, espero que seja de grande proveito a todos, e se gostarem da iniciativa, a única coisa que peço é que compartilhem com seus amigos, comentem, interajam :D

As provas anteriores, assim como seus gabaritos podem ser encontrados aqui!

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FATEC 2014.2 - Matemática

30.

Conforme o enunciado, a altura do pilar de sustentação possui $10,5m$ e compõe 61,8% da altura total.
Dessa forma, podemos calcular a altura total, calculando a altura do fim do pilar até o topo do monumento, através de uma Regra de 3 simples:
$$10,5 \rightarrow 61,8%$$   $$x \rightarrow 38,2%$$  

Fazendo o produto cruzado, temos $16,99$, aproximadamente $6,5m$.
Dessa forma, a altura total do monumento é:
$$10,5+6,5=17m$$

ALTERNATIVA D.

31.

Conforme enunciado, temos uma PG com os seguintes parâmetros:
$$a_1=261$$
$$a_{13}=522$$
$$n=13$$
Aplicando a Fórmula do Termo Geral de uma PG (Não a conhece? Acesse esse Link!) temos:
$$a_n=a_1 \cdot q^{n-1}$$
Substituindo os dados do enunciado:
$$522=261 \cdot q^{12}\Rightarrow q^{12}=2\Rightarrow q=\sqrt[12]{2}$$
Aplicando novamente a Fórmula do Termo Geral, só que dessa vez afim de descobrirmos o $a_{10}$, temos:
$$a_{10}=261 \cdot (\sqrt[12]{2})^9$$
Sabendo que:
$$(\sqrt[12]{2})^9=2^{\frac{3}{4}}$$
Que por sua vez é o mesmo que $\sqrt[4]{8}$,
Temos finalmente:
$$a_{10}=261 \cdot \sqrt[4]{8}$$

ALTERNATIVA D.

32.

A expressão que relaciona os dados do exercício com o que é pedido, nos foi dada:
$$M=C \cdot (1+i)^n$$
O montante a ser pago até o final do período é o dobro do capital aplicado, ou seja:
$$M=2C$$
E a taxa de juros é de 8% ao ano, ou 0,08 ao ano.
Dessa forma, podemos escrever:
$$2C=C \cdot (1+0,08)^n \Rightarrow 2=1,08^n$$
Aplicando $log$ em ambos os membros, obtemos:
$$log2=log(1,08)^n\Rightarrow log2=n \cdot log(1,08)$$
Conforme dados do exercício, podemos escrever:
$$0,3=n \cdot 0,03 \Rightarrow n=\frac{0,3}{0,03}=10$$

ALTERNATIVA A.

33.

Primeiramente, temos que conhecer o Teorema da Base Média. Caso não conheça, acesse esse link!
Podemos decompor a figura dada em um trapézio e um retângulo. O Trapézio possui Base Maior $B=32$ e Base Menor $b=\frac{32}{2}=16$ (Foi utilizado aqui o Teorema).
A altura do trapézio pode ser calculada pelo Teorema de Pitágoras, lembrando que temos que dividir por 2, já que é a metade da altura do triângulo:
$$32^2=h^2+16^2\Rightarrow h=8\cdot \sqrt{3}$$
Assim, podemos calcular a sua área (Se não conhece a fórmula, acesse o link!)
$$A_1=\frac{(B+b)h}{2}\Rightarrow A_1=\frac{48 \cdot 8 \cdot \sqrt{3}}{2}\Rightarrow A_1= 192\sqrt{3}$$
Agora é só calcular a área do Retângulo:
$$A_2=30\cdot 60=1800$$
Dessa forma:
$$A=A_1+A_2=1800+192\sqrt{3}$$

ALTERNATIVA C.

34.

O volume da cabeça cilíndrica é:
$$V_1=A_b\cdot h\Rightarrow V_1=\pi \cdot 4^2 \cdot 1=16\pi$$
O volume do corpo cilíndrico é:
$$V_2=A_b\cdot h \Rightarrow V_2=\pi \cdot 3^2 \cdot 60=540\pi$$
O volume da ponta cônica é:
$$V_3=\frac{1}{3}\pi \cdot 3^2 \cdot 2=6\pi$$
Assim, o volume de 1 prego é:
$$V=V_1+V_2+V_3=562\pi$$
Logo o volume de 100 pregos é $56200\pi$

ALTERNATIVA B.