Demonstrações
Para um real entendimento sobre determinado tema, mais importante do que decorar certas fórmulas é entender o raciocínio utilizado para se chegar a essa expressão. Venho por meio dessa série de post's, demonstrar algumas fórmulas usadas na Matemática e Física.
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Demonstração do Teorema da Base Média
O Teorema da Base Média nos diz o seguinte:
O seguimento que une os pontos médios de dois lados de um triângulo é paralelo ao terceiro lado, e sua medida é igual à metade da medida do terceiro lado.
Seja a seguinte situação:
Segundo nossa hipótese, temos que \vec{AB}=2\vec{MN} e \vec{AB}//\vec{MN}.
Sendo M e N pontos médios, temos que \vec{AM}=\vec{MC} e que \vec{CN}=\vec{NB}.
Por Álgebra Vetorial, temos:
\vec{MN}=\vec{MC}+\vec{CN}
O seguimento que une os pontos médios de dois lados de um triângulo é paralelo ao terceiro lado, e sua medida é igual à metade da medida do terceiro lado.
Seja a seguinte situação:
Segundo nossa hipótese, temos que \vec{AB}=2\vec{MN} e \vec{AB}//\vec{MN}.
Sendo M e N pontos médios, temos que \vec{AM}=\vec{MC} e que \vec{CN}=\vec{NB}.
Por Álgebra Vetorial, temos:
\vec{MN}=\vec{MC}+\vec{CN}
E, sabendo que \vec{AC}=2\vec{MC} e \vec{CB}=2\vec{CN} podemos escrever:
\vec{MN}=\frac{\vec{AC}}{2}+\frac{\vec{CB}}{2}\Rightarrow \vec{MN}=\frac{\vec{AB}}{2}
\vec{MN}=\frac{\vec{AC}}{2}+\frac{\vec{CB}}{2}\Rightarrow \vec{MN}=\frac{\vec{AB}}{2}
Como \vec{AB} é múltiplo de \vec{MN}, temos que \vec{MN}//\vec{AB}, corroborando a hipótese.
Até mais, e qualquer dúvida me contatem pelo facebook!
