Demonstrações
Para um real entendimento sobre determinado tema, mais importante do que decorar certas fórmulas é entender o raciocínio utilizado para se chegar a essa expressão. Venho por meio dessa série de post's, demonstrar algumas fórmulas usadas na Matemática e Física.
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Demonstração do Teorema da Base Média
O Teorema da Base Média nos diz o seguinte:
O seguimento que une os pontos médios de dois lados de um triângulo é paralelo ao terceiro lado, e sua medida é igual à metade da medida do terceiro lado.
Seja a seguinte situação:
Segundo nossa hipótese, temos que $\vec{AB}=2\vec{MN}$ e $\vec{AB}//\vec{MN}$.
Sendo $M$ e $N$ pontos médios, temos que $\vec{AM}=\vec{MC}$ e que $\vec{CN}=\vec{NB}$.
Por Álgebra Vetorial, temos:
$$\vec{MN}=\vec{MC}+\vec{CN}$$
O seguimento que une os pontos médios de dois lados de um triângulo é paralelo ao terceiro lado, e sua medida é igual à metade da medida do terceiro lado.
Seja a seguinte situação:
Segundo nossa hipótese, temos que $\vec{AB}=2\vec{MN}$ e $\vec{AB}//\vec{MN}$.
Sendo $M$ e $N$ pontos médios, temos que $\vec{AM}=\vec{MC}$ e que $\vec{CN}=\vec{NB}$.
Por Álgebra Vetorial, temos:
$$\vec{MN}=\vec{MC}+\vec{CN}$$
E, sabendo que $\vec{AC}=2\vec{MC}$ e $\vec{CB}=2\vec{CN}$ podemos escrever:
$$\vec{MN}=\frac{\vec{AC}}{2}+\frac{\vec{CB}}{2}\Rightarrow \vec{MN}=\frac{\vec{AB}}{2}$$
$$\vec{MN}=\frac{\vec{AC}}{2}+\frac{\vec{CB}}{2}\Rightarrow \vec{MN}=\frac{\vec{AB}}{2}$$
Como $\vec{AB}$ é múltiplo de $\vec{MN}$, temos que $\vec{MN}//\vec{AB}$, corroborando a hipótese.
Até mais, e qualquer dúvida me contatem pelo facebook!