Introdução
Vimos, no Ensino Fundamental, que $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$.
Se quisermos calcular $(a+b)^3$, podemos escrever:
$(a+b)^3=(a+b)^2 \cdot (a+b)$, desenvolvendo teremos $a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$.
De modo análogo, podemos calcular as quintas e sextas potências e, de modo geral, obter o desenvolvimento da potência $(a+b)^n$.
Quando o valor de $n$ é grande, porém, esse processo é muito trabalhoso.
Nesse post, vamos estudar um método para desenvolver a enésima potência de um binômio, o qual, além de nos poupar cálculo, nos ajudará a determinar qualquer termo de um desenvolvimento, sem efetuá-lo.
Coeficientes Binomiais
Sendo $n$ e $p$ dois números naturais $(n \geq p)$, chamamos de coeficiente binomial de classe $p$, do número $n$:
O coeficiente binomial também é chamado de número binomial. Por analogia com as frações, dizemos que $n$ é o seu numerador e $p$, o denominador.
Podemos escrever:
É também imediato que, para qualquer $n$ natural, temos:
Propriedades dos Coeficientes Binomiais
1°)
Exemplos:
2°)
Exemplos:
Triângulo de Pascal
A disposição ordenada dos números binomiais, como na imagem abaixo, recebe o nome de triângulo de Pascal.
Nessa tabela triangular, os números binomiais com mesmo numerador são escritos na mesma linha e os de mesmo denominador, na mesma coluna.
Exemplo:
Construção do Triângulo de Pascal
Para construir o triângulo de Pascal, basta lembrar as seguintes propriedades dos números binomiais, não sendo necessário calculá-los:
3°) Cada elemento do triângulo que não seja da coluna 0 nem o último de cada linha é igual à soma daquele que está na mesma coluna e linha anterior com o elemento que se situa à esquerda deste último (Relação de Stifel).
Observe os passos e a aplicação da Relação de Stifel para a construção do triãngulo:
Propriedades do Triângulo de Pascal
P1) Em qualquer linha, dois números binomiais equidistantes dos extremos são iguais.
P2) Teorema das linhas: A soma dos elementos da enésima linha é $2^n$.
P3) Teorema das colunas: A soma dos elementos de qualquer coluna, do 1° elemento até um qualquer, é igual ao elemento situado na coluna à direita da considerada e na linha imediatamente abaixo.
P4) Teorema das diagonais: A soma dos elementos situados na mesma diagonal desde o elemento da 1° coluna até o de uma qualquer é igual ao elemento imediatamente abaixo deste:
Fórmula do Desenvolvimento do Binômio de Newton
Como vimos, a potência da forma $(a+b)^n$, é chamada binômio de Newton. Além disso:
Observe que os coeficientes dos desenvolvimentos formam o triângulo de Pascal. Então podemos escrever também:
De modo geral, quando o expoente é $n$, podemos escrever a fórmula do desenvolvimento do binômio de Newton:
Note que os expoentes de $a$ vão diminuindo de unidade em unidade, variando de $n$ a $0$, e os expoentes de $b$ vão aumentando de unidade em unidade, variando de $0$ a $n$. O desenvolvimento de $(a+b)^n$ possui $n+1$ termos.
Fórmula do Termo Geral do Binômio
Observando os termos do desenvolvimento de $(a+b)^n$, notamos que cada um deles é da forma:
Podemos escrever, portanto:
Onde $T$ é um termo qualquer.