Binômio de Newton ~ Monitoria Exatas

Introdução

Vimos, no Ensino Fundamental, que

$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$ .

Se quisermos calcular

$(a+b)^3$ , podemos escrever:

$(a+b)^3=(a+b)^2 \cdot (a+b)$ , desenvolvendo teremos

$a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$ .

De modo análogo, podemos calcular as quintas e sextas potências e, de modo geral, obter o desenvolvimento da potência

$(a+b)^n$ .

Quando o valor de

$n$ é grande, porém, esse processo é muito trabalhoso.

Nesse post, vamos estudar um método para desenvolver a enésima potência de um binômio, o qual, além de nos poupar cálculo, nos ajudará a determinar qualquer termo de um desenvolvimento, sem efetuá-lo.

Coeficientes Binomiais

Sendo

$n$ e

$p$ dois números naturais

$(n \geq p)$ , chamamos de coeficiente binomial de classe

$p$ , do número

$n$ :

O coeficiente binomial também é chamado de número binomial. Por analogia com as frações, dizemos que

$n$ é o seu numerador e

$p$ , o denominador.

Podemos escrever:

É também imediato que, para qualquer

$n$ natural, temos:

Propriedades dos Coeficientes Binomiais

1°)

Exemplos:

2°)

Exemplos:

Triângulo de Pascal

A disposição ordenada dos números binomiais, como na imagem abaixo, recebe o nome de triângulo de Pascal.

Nessa tabela triangular, os números binomiais com mesmo numerador são escritos na mesma linha e os de mesmo denominador, na mesma coluna.

Exemplo:

Construção do Triângulo de Pascal

Para construir o triângulo de Pascal, basta lembrar as seguintes propriedades dos números binomiais, não sendo necessário calculá-los:

3°) Cada elemento do triângulo que não seja da coluna 0 nem o último de cada linha é igual à soma daquele que está na mesma coluna e linha anterior com o elemento que se situa à esquerda deste último (Relação de Stifel).

Observe os passos e a aplicação da Relação de Stifel para a construção do triãngulo:

Propriedades do Triângulo de Pascal

P1) Em qualquer linha, dois números binomiais equidistantes dos extremos são iguais.

P2) Teorema das linhas: A soma dos elementos da enésima linha é

$2^n$ .

P3) Teorema das colunas: A soma dos elementos de qualquer coluna, do 1° elemento até um qualquer, é igual ao elemento situado na coluna à direita da considerada e na linha imediatamente abaixo.

P4) Teorema das diagonais: A soma dos elementos situados na mesma diagonal desde o elemento da 1° coluna até o de uma qualquer é igual ao elemento imediatamente abaixo deste: