Logaritmos

Logaritmos

Uma propriedade muito importante que iremos utilizar é:

$$a^m=a^n \rightarrow m=n$$

Entretanto, nem sempre as equações são deste tipo.

Muitas vezes, temos equações, por exemplo, do tipo:

$$3^x=22$$

De que modo podemos resolvê-la?

Sabemos  que $3^2=9$ e $3^3=27$ e, também, que $9<22<27$.

Concluímos então que $3^2<3^x<3^3$.

Logo, $2<x<3$.

Esta conclusão, apesar de significativa, não é solução para nossa equação.

Para resolver esse novo tipo de equação será necessário o uso de logaritmos, que constituem um tema muito importante em nosso estudo,com aplicações na matemática e em muitas outras áreas do conhecimento.

Definição

Dados dois números reais positivos, $a$ e $b$, com $a \neq 1$, pode-se provar que existe um único número real $x$ de modo que $a^x=b$.

Esse número $x$ é chamado de logaritmo de $b$ na base $a$ e indica-se $\log_ab$.

Podemos então, escrever:

$$a^x=b \rightarrow x=\log_ab$$

$$(a \in R,b \in R,a \neq 1,a>0, b>0)$$

Note que o logaritmo de $b$ na base $a$ nada mais é do que o expoente ao qual se deve elevar o número $a$ para se obter $b$.

Na igualdade $x=\log_ab$, temos:

$a$ é a base do logaritmo;

$b$ é o logaritmando ou antilogaritmo;

$x$ é o logaritmo.

Exemplos

1) Calcule $\log_{\sqrt{3}}729$, aplicando a definição.

Fazendo $\log_{\sqrt{3}}729=x$, temos:

$$(\sqrt{3})^x=729 \therefore (3^{\frac{1}{2}})^x=729 \therefore 3^{\frac{x}{2}}=729$$

Fatorando $729$, obtemos $3^6$, logo:

$$3^{\frac{x}{2}}=3^6$$

$$\frac{x}{2}=6 \therefore x=12$$

2) Calcule o valor de $S=\log_232+\log_40,0625-\log_{2\sqrt{3}}144$.

Chamando as parcelas de $x$, $y$ e $z$ respectivamente, temos:

$$\log_232=x \therefore 2^x=32 \therefore 2^x=2^5 \therefore x=5$$

$$\log_40,0625=y \therefore 4^y=\frac{625}{10000}\therefore 4^y=\frac{1}{16}\therefore 4^y=4^-2\therefore y=-2$$

$$\log_{2\sqrt{3}}144=z\therefore (2\sqrt{3})^z=12^2\therefore 12^{\frac{z}{2}}=12^2\therefore z=4$$ 

Portanto:

$$S=x+y-z \therefore S=5+(-2)-4=-1$$

3) Calcule o valor da base $a$, sabendo-se que $\log_a128=7$.

Devemos ter $a>0$ e $a\neq1$.

Aplicando a definição temos:

$$a^7=128\therefore a^7=2^7\therefore a=2$$

Consequências da Definição

Sendo $1 \neq 1 >0,b>0,c>0$ e $m$ um número real qualquer, temos, a seguir algumas consequências da definição de logaritmo:

1° Situação: $\log_a1=0$

De fato, $\log_a1=x\therefore a^x=1\therefore x=0$.

2° Situação: $\log_aa=1$

De fato, $\log_aa=x \therefore a^x=a\therefore x=1$.

3° Situação: $\log_aa^m=m$

De fato, $\log_aa^m=x \therefore a^x=a^m\therefore x=m$.

4° Situação: $\log_ab=\log_ac \rightarrow b=c$

De fato, $\log_ab=\log_ac=x$

$a^x=b$ e $a^x=c$ $\therefore b=c$.

Propriedades Operatórias dos Logaritmos

Logaritmo do Produto:

$$\log_a(xy)=\log_ax+\log_ay$$

Logaritmo do Quociente:
$$\log_a\frac{x}{y}=\log_ax-\log_ay$$
Logaritmo da Potência:
$$\log_ax^m=m\log_ax$$
Caso Particular:
$$\log_a\sqrt[n]{x^m}=\frac{m}{n}\log_ax$$

Observação:
É importante perceber que não podemos obter o logaritmo de uma soma ou diferença por meio de regras semelhantes às vistas anteriormente. De modo geral:
$$\log_a(x\pm y)\neq \log_ax \pm \log y$$
Para calcularmos o Logaritmo da soma ou diferença, devemos primeiro calcular a soma ou diferença.

Exemplos

1) Sabendo que $\log 3=a$ e $\log 5=b$, calcule os Log's abaixo, em função de $a$ ou $b$.
a)$\log 15$
$$\log 15= \log(5\cdot 3)= \log 5 + \log 3 = a+b$$
b)$\log 675$
$$\log 675=\log(3^3\cdot 5^2)=3\log 3 + 2 \log 5=3a+2b$$
c) $\log 2$
$$\log_2=\log \frac{10}{5}=\log 10-\log 5 =1-b $$

2) Sendo $\log_ax=2$, $\log_ay=3$ e $\log_az=5$, calcule:
$$\log_a\frac{x^2y^3}{z^4}$$
Através das propriedades, podemos escrever essa expressão como:
$$log_ax^2+\log_ay^3-\log_az^4=2\log_ax+3\log_ay-4\log_az=2\cdot 2+3 \cdot 3-4\cdot 5=-7$$

3) Usando $\log 3=0,47$ e $\log 2=0,3$, calcule $\log \sqrt[3]{48}$.
$$\log \sqrt[3]{48}=\log \sqrt[3]{2^4\cdot 3}=\log(\sqrt[3]{2^4}\cdot \sqrt[3]{3})=\log \sqrt[3]{2^4}+ \log \sqrt[3]{3}=\frac{4}{3}\log 2+\frac{1}{3}\log 3=0,56$$

Mudança de Base

Podem aparecer, no cálculo, situações em que encontramos vários logaritmos em bases diferentes.

Como as propriedades logarítmicas só tem validade para logaritmos numa mesma base, é necessário fazer, antes, a conversão dos logaritmos de bases diferentes para uma única base conveniente.

Vamos supor por exemplo, qe temos $\log_ax=y$ e que precisamos descobrir quanto vale $\log_bx$.

Para isso devemos efetuar a mudança da base $a$ para a base $b$.

Para isso, utilizamos a seguinte regra:

$$\log_ax=\frac{\log_bx}{\log_ba}$$

Exemplos

1) Transforme $\log_35$ para base 2.

$$\log_35=\frac{\log_25}{\log_23}$$

2) Transforme $\log_{10}6$ para base 5.

$$\log_{10}6=\frac{\log_56}{\log_510}$$

3) Transforme $\log_ba$ para base $a$.

$$\log_ba=\frac{\log_aa}{\log_ab}=\frac{1}{\log_ab}$$

Equações Logarítmicas

Equação logarítmica é toda equação envolvendo logaritmos com a incógnita aparecendo no logaritmando, na base ou em ambos.

Exemplos

1) $\log_2x=8$

Primeiro precisamos avaliar a condição de existência: $x>0$ 

$$\log_2x=8\therefore 2^8=x\therefore x=256$$

Como $x=256$ satisfaz a condição de existência, então $V={256}$.

2) $\log_3(x+5)=2$

Primeiro precisamos avaliar a condição de existência: $(x+5>0) \therefore x>-5$.

$$\log_3(x+5)=2 \therefore 3^2=x+5\therefore x+5=9\therefore x=4$$

Como $x=4$ satisfaz a condição de existência, então $V={4}$.