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Logaritmos



Logaritmos


Uma propriedade muito importante que iremos utilizar é:
a^m=a^n \rightarrow m=n
Entretanto, nem sempre as equações são deste tipo.
Muitas vezes, temos equações, por exemplo, do tipo:
3^x=22
De que modo podemos resolvê-la?
Sabemos  que 3^2=9 e 3^3=27 e, também, que 9<22<27.
Concluímos então que 3^2<3^x<3^3.
Logo, 2<x<3.
Esta conclusão, apesar de significativa, não é solução para nossa equação.
Para resolver esse novo tipo de equação será necessário o uso de logaritmos, que constituem um tema muito importante em nosso estudo,com aplicações na matemática e em muitas outras áreas do conhecimento.

Definição

Dados dois números reais positivos, a e b, com a \neq 1, pode-se provar que existe um único número real x de modo que a^x=b.
Esse número x é chamado de logaritmo de b na base a e indica-se \log_ab.
Podemos então, escrever:
a^x=b \rightarrow x=\log_ab
(a \in R,b \in R,a \neq 1,a>0, b>0)
Note que o logaritmo de b na base a nada mais é do que o expoente ao qual se deve elevar o número a para se obter b.
Na igualdade x=\log_ab, temos:
a é a base do logaritmo;
b é o logaritmando ou antilogaritmo;
x é o logaritmo.

Exemplos

1) Calcule \log_{\sqrt{3}}729, aplicando a definição.
Fazendo \log_{\sqrt{3}}729=x, temos:
(\sqrt{3})^x=729 \therefore (3^{\frac{1}{2}})^x=729 \therefore 3^{\frac{x}{2}}=729
Fatorando 729, obtemos 3^6, logo:
3^{\frac{x}{2}}=3^6
\frac{x}{2}=6 \therefore x=12

2) Calcule o valor de S=\log_232+\log_40,0625-\log_{2\sqrt{3}}144.
Chamando as parcelas de x, y e z respectivamente, temos:
\log_232=x \therefore 2^x=32 \therefore 2^x=2^5 \therefore x=5
\log_40,0625=y \therefore 4^y=\frac{625}{10000}\therefore 4^y=\frac{1}{16}\therefore 4^y=4^-2\therefore y=-2
\log_{2\sqrt{3}}144=z\therefore (2\sqrt{3})^z=12^2\therefore 12^{\frac{z}{2}}=12^2\therefore z=4
 
Portanto:
S=x+y-z \therefore S=5+(-2)-4=-1

3) Calcule o valor da base a, sabendo-se que \log_a128=7.
Devemos ter a>0 e a\neq1.
Aplicando a definição temos:
a^7=128\therefore a^7=2^7\therefore a=2


Consequências da Definição

Sendo 1 \neq 1 >0,b>0,c>0 e m um número real qualquer, temos, a seguir algumas consequências da definição de logaritmo:
1° Situação: \log_a1=0
De fato, \log_a1=x\therefore a^x=1\therefore x=0.
2° Situação: \log_aa=1
De fato, \log_aa=x \therefore a^x=a\therefore x=1.
3° Situação: \log_aa^m=m
De fato, \log_aa^m=x \therefore a^x=a^m\therefore x=m.
4° Situação: \log_ab=\log_ac \rightarrow b=c
De fato, \log_ab=\log_ac=x
a^x=b e a^x=c \therefore b=c.

Propriedades Operatórias dos Logaritmos

Logaritmo do Produto:
\log_a(xy)=\log_ax+\log_ay
Logaritmo do Quociente:
\log_a\frac{x}{y}=\log_ax-\log_ay

Logaritmo da Potência:
\log_ax^m=m\log_ax

Caso Particular:
\log_a\sqrt[n]{x^m}=\frac{m}{n}\log_ax


Observação:
É importante perceber que não podemos obter o logaritmo de uma soma ou diferença por meio de regras semelhantes às vistas anteriormente. De modo geral:
\log_a(x\pm y)\neq \log_ax \pm \log y

Para calcularmos o Logaritmo da soma ou diferença, devemos primeiro calcular a soma ou diferença.

Exemplos

1) Sabendo que \log 3=a e \log 5=b, calcule os Log's abaixo, em função de a ou b.
a)\log 15
\log 15= \log(5\cdot 3)= \log 5 + \log 3 = a+b

b)\log 675
\log 675=\log(3^3\cdot 5^2)=3\log 3 + 2 \log 5=3a+2b

c) \log 2
\log_2=\log \frac{10}{5}=\log 10-\log 5 =1-b


2) Sendo \log_ax=2, \log_ay=3 e \log_az=5, calcule:
\log_a\frac{x^2y^3}{z^4}

Através das propriedades, podemos escrever essa expressão como:
log_ax^2+\log_ay^3-\log_az^4=2\log_ax+3\log_ay-4\log_az=2\cdot 2+3 \cdot 3-4\cdot 5=-7


3) Usando \log 3=0,47 e \log 2=0,3, calcule \log \sqrt[3]{48}.
\log \sqrt[3]{48}=\log \sqrt[3]{2^4\cdot 3}=\log(\sqrt[3]{2^4}\cdot \sqrt[3]{3})=\log \sqrt[3]{2^4}+ \log \sqrt[3]{3}=\frac{4}{3}\log 2+\frac{1}{3}\log 3=0,56


Mudança de Base

Podem aparecer, no cálculo, situações em que encontramos vários logaritmos em bases diferentes.
Como as propriedades logarítmicas só tem validade para logaritmos numa mesma base, é necessário fazer, antes, a conversão dos logaritmos de bases diferentes para uma única base conveniente.
Vamos supor por exemplo, qe temos \log_ax=y e que precisamos descobrir quanto vale \log_bx.
Para isso devemos efetuar a mudança da base a para a base b.
Para isso, utilizamos a seguinte regra:
\log_ax=\frac{\log_bx}{\log_ba}


Exemplos

1) Transforme \log_35 para base 2.
\log_35=\frac{\log_25}{\log_23}

2) Transforme \log_{10}6 para base 5.
\log_{10}6=\frac{\log_56}{\log_510}

3) Transforme \log_ba para base a.
\log_ba=\frac{\log_aa}{\log_ab}=\frac{1}{\log_ab}

Equações Logarítmicas

Equação logarítmica é toda equação envolvendo logaritmos com a incógnita aparecendo no logaritmando, na base ou em ambos.

Exemplos

1) \log_2x=8
Primeiro precisamos avaliar a condição de existência: x>0 
\log_2x=8\therefore 2^8=x\therefore x=256
Como x=256 satisfaz a condição de existência, então V={256}.

2) \log_3(x+5)=2
Primeiro precisamos avaliar a condição de existência: (x+5>0) \therefore x>-5.
\log_3(x+5)=2 \therefore 3^2=x+5\therefore x+5=9\therefore x=4
Como x=4 satisfaz a condição de existência, então V={4}.

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