Soma dos Ângulos Internos e Externos de um Polígono Convexo

Demonstrações

Para um real entendimento sobre determinado tema, mais importante do que decorar certas fórmulas é entender o raciocínio utilizado para se chegar a essa expressão. Venho por meio dessa série de post's, demonstrar algumas fórmulas usadas na Matemática e Física.

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Soma dos Ângulos Internos e Externos de um Polígono Convexo

Ângulos Internos

A soma dos ângulos internos de um polígono convexo de $N$ lados é dada fórmula:

$$S=(N-2)\cdot 180$$

Onde $N$ é o número de lados e $S$ a soma dos ângulos internos.

Demonstração:

Tomando um polígono convexo de $N>3$, podemos decompô-lo em triângulos, traçando diagonais a partir de um vértice qualquer:

Vejam que para $N=4$, temos 2 triângulos. Para $N=5$, temos 3 triângulos, e assim sucessivamente.
A partir disso, temos que o número de triângulos formados é dado pela seguinte expressão:
$$T=N-2$$
Como a soma dos ângulos internos de um polígono é igual à soma dos ângulos internos de todos os triângulos que o compõe, (que corresponde a 180), temos que:
$$S=T\cdot 180 \therefore S=(N-2) \cdot 180$$
Uma consequência desse resultado é a determinação do ângulo interno de um polígono regular, dado por:
$$\alpha=\frac{(N-2)\cdot 180}{N}$$
Onde $\alpha$ é a medida de cada ângulo interno.

Ângulos Externos

"A soma dos ângulos externos de um polígono convexo é igual a $360$."

Demonstração:

Iremos partir do fato de que a soma entre $\alpha$ e $\beta$ seja $180$:
$$\alpha+\beta=180$$
Logo, para cada par de ângulos associados a um lado $N$ do polígono, temos:
$$\alpha_1+\beta_1=180$$
$$\alpha_2+\beta_2=180$$
$$\alpha_3+\beta_3=180$$
$$\vdots$$
$$\alpha_N+\beta_N=180$$
Somando membro a membro, obtemos:
$$S_{\alpha}+S_{\beta}=N\cdot 180$$
Onde $S_{\alpha}$ é a soma dos ângulos internos, $S_{\beta}$ é a soma dos ângulos externos e $N$ o número de lados do polígono.
Manipulando essa expressão, finalmente obtemos:
$$S_{\beta}=N\cdot 180-S_{\alpha}$$
Já demonstramos que
$$S_{\alpha}=(N-2)\cdot 180$$
Logo, reescrevendo obtemos:
$$S_{\beta}=N\cdot 180-(N-2)\cdot 180 \therefore S_{\beta}=N\cdot 180-N\cdot 180+360$$
Logo, temos:
$$S_{\beta}=360$$
Uma consequência desse resultado é a determinação do ângulo externo de um polígono regular, dado por:
$$\beta=\frac{360}{N}$$
Onde $\beta$ é a medida de cada ângulo externo.